1樓：匿名使用者
圓等分成360份，每乙份1度圓心角對應的圓弧長為a=πr/180，則半徑r與a所圍的面積近似於乙個三角形的面積，設高為h則h=√[1-(π/180)^2]*r
乙個三角形的面積=ah/2=(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)
360個全等三角形的面積之和為圓面積，
s=360*(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)
=πr^2)*√[1-2π/180^2]
2π/180^2近似等於0
所以s=πr^2
2樓：匿名使用者
推導：設圓等分成n份，每乙份圓弧a所對應的弦長為b，則半徑r與b所圍的面積為rb/2，
當n無限大時，a=b，na=2πr，
面積之和為圓面積，
s=nrb/2=nra/2
=r*2πr/2
=πr^2。
3樓：匿名使用者
定義π=l/d = l/2r，
並由此定義一周的角度為2π，對應360°，
所以有扇形周長公式：周長=半徑×圓心角
求證：s=πr²
證明：把圓分成n個扇形，設扇形的角度為α，則nα=2π, lim(n→∞)α=0，即α為n→∞時的無窮小量
當α很小時，可以近似用三角形面積公式來算，底為弧長rα，高為半徑√(r²-(rα/2)² = r√(1-α²/4) = r(1-α²/8+……)（這裡用泰勒公式到第一項，後面的項沒有寫出來，但由下述過程可知求和後均為0）
扇形面積s = r²α/2·(1-α²/8+……)
圓面積s=lim(n→∞)∑s = lim(n→∞)∑r²α/2··(1-α²/8+……) = lim(n→∞)(∑r²dα/2 - ∑r²α³/16 + ……)
=πr²/2-r²/16·lim(n→∞)nα·α² + ……
=πr²/2-r²/16·lim(n→∞)2πα² + ……
=πr²/2-0+0+……
=πr²/2
上述過程用到了弧長近似為三角形底，是不嚴格的證明，嚴格的需要做兩個三角形，乙個連線扇形的兩邊端點構成三角形，面積為s = 2rsin(α/2)·rcos(α/2) / 2 = r²sinα/2=r²/2(α-α²/2+……)乙個外切其中一條邊構成直角三角形的底，並延長另外一條邊與之相交，面積為s = r²·tanα/2=r²/2·(α+α³/6+……)，則扇形面積處於這兩這之間（注意：這裡扇形的面積未知，沒有使用rα·r/2來表達，也就是沒有使用圓面積公式），分別對兩種三角形面積進行求和求極限，同上述求極限過程，可知二者的面積和極限均為πr²/2（式的第一項和可求得πr²/2，其他項均為0），根據極限夾逼準則，圓面積為πr²/2
4樓：匿名使用者
先無限逼近求圓的周長
π=n*sin(45°/n)*4 (n>700000)l=2πr
r/△x=n
然後△x**2π0+△x*2π△x+△x*2π2△x+...△x*2π△x（n-1)=2π△x^2*(n(n-1)/2=πr^2(1-1/n) lim n→無窮大 得πr^2
看看行不行
還有一種比較繁 不想打了 睡覺去了 明天在說
5樓：①吖
硬紙板上畫乙個圓，把圓分成若干等分，剪開後用這些近似的等腰三角形的小紙片拼一拼，就可以拼成乙個近似的平行四邊形。如果分的分數越多，每乙份會越細。拼成的圖形就會越接近長方形。
長方形的長等於圓周長的一半，即c/2 , 寬等於圓的半徑 r ，因為長方形的面積 = 長×寬，所以圓的面積 s=c × r÷2
又因為c=2πr 所以s=πr² 。
6樓：
（1）曲線的弧長是由折線的極限定義的，對於圓來說，周長等於內接正多邊形周長的極限。
（2）圓的面積也等於內接正多邊形面積的極限。
取圓的一內接正多邊形an，記其周長為**,面積為sn,圓心到每條邊的距離為hn,則有：
sn = ** * hn / 2。(三角形面積公式）由（1）（2），當n趨向於無窮時，sn即圓的面積，**即圓的周長，hn即圓的半徑，那麼上式取極限就是「圓的面積=圓的周長*圓的半徑/2 「
7樓：匿名使用者
誰告訴你sin(x)<=x要用到圓面積公式？
e^z=1+z/1!+z^2/2!+...
利用級數絕對收斂可以調整順序的性質，證明e^=e^
從級數出發，易知e^的共軛是e^，所以e^的模是(e^e^)^=1
定義cos(x)+isin(x)=e^
則cos^2(x)+sin^2(x)=1
利用cos(x+y)+isin(x+y)=e^=e^e^=(cos(x)+isin(x))(cos(y)+isin(y))易證和角公式
接下來證明e^的週期性，即要證明存在c>0，使得e^z=1當且僅當z/c是整數。稱此c為2π。(利用e^z在0的充分小鄰域非零易證)
易證e^=-1
利用定義，e^的虛部非負，則e^=i，e^=-i，得出所有和π/2，π有關的三角公式
從而得出cos和sin的週期相等，且比為2π
利用級數，證明sin'(x)=cos(x)，從而利用cos^2(x)+sin^2(x)=1，知|sin'(x)|<=1，從而sin(x)<=x
其他所有你不讓用的就都類似證出
8樓：冰刀
圓周長公式的推導： 圓周長（c）：圓的直徑（d），那圓的周長（c）除以圓的直徑（d）等於π，那利用乘法的意義，就等於 π乘以圓的直徑（d）等於圓的周長（c），c=πd。
而同圓的直徑（d）是圓的半徑（r）的兩倍，所以就圓的周長（c）等於2乘以π乘以圓的半徑（r），c=2πr。
圓面積公式的推導： 把圓平均分成若干份，可以拼成乙個近似的長方形。長方形的寬就等於圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（c）的一半。
長方形的面積是ab，那圓的面積就是：圓的半徑（r）的平方乘以π，s=πrr。*（把圓平均分成若干份曲邊三角形，使得弧長無限小，可以以直代曲。
將曲邊三角形兩個一組拼成長方形，然後延伸，拼成乙個大的長方形，長方形的長為圓的半周長，寬為圓的半徑，故得證。）
9樓：匿名使用者
圓面積公式是由圓周長公式得到的。具體是將圓視為內接正多邊形一種，其邊數無限，而其邊的中心距離等於半徑。這樣把等於把圓劃分成無窮多個三角形，每個三角形面積s=1/2 *r*a (這裡a為一小段圓弧）整個圓面積s=1/2*r*(圓周長）=1/2*r*2 π r=π r^2
10樓：匿名使用者
把乙個圓形紙板平均分成4（8、16、32……）份，再拼成乙個近似的平行四邊形，這個近似的平行四邊形的底就是圓周長的一半，高就是圓的半徑。平行四邊形的面積=底乘高，圓周長的一半=πr，那麼圓的面積就=πr*r，就是πr^2。
11樓：電燈劍客
首先你要注意，雖然圓的面積公式遠早於微積分，但不代表所謂的證明是嚴謹的。比如說，最常用的初等定義是用pi=圓周長/直徑，然後用割圓的方法「證明」出圓的面積只能是pi*r^2，但是毛病在於周長和面積的定義都不是嚴格的，所以這些結論卻是可以在微積分出現之前就用不太嚴格的方式得到。
然後給你講一下如何嚴格化。
1.有了最基本的極限理論之後先建立冪級數的理論，然後用冪級數定義sinx和cosx，這些理論的建立完全不需要pi。
2.利用冪級數的定義可以建立除了誘導公式外的三角公式，因為最基本的結論是加法定理sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，可以直接由冪級數證明。
另外(sinx)^2+(cosx)^2=1可以由[(sinx)^2+(cosx)^2]'=0得到。
3.定義sinx=0的最小正根為pi，然後用三角公式可以建立各種誘導公式和單調性，然後就有了反三角函式的值域。
利用上述方法就能完全解開你所提到的迴圈論證，過程中完全不涉及直觀的幾何，換句話說「幾何意義」都是用代數符號來定義出來的。但是這套方法一般不適合教學，這是有了高等數學之後反過來對於初等數學的嚴格化，而不是根據歷史上的認知過程得到的。
12樓：匿名使用者
圓的面積公式s=πr^2,如果用這個π的話，而不涉及極限概念似乎不太現實．你得先說明這個π是怎麼定義的．其實就是圓內接正n邊形周長與圓半徑的比值，如果不涉及極限概念是無法定義的．其實就是求圓內接正n邊形面積，當正n邊形周長與圓半徑的比值定義為π時就得到這個公式了．
13樓：深愛的鶯
在我國古代·圓面積公式的求證·也是劉徽引入了極限的概念才證明的··那時是把圓切割成很多塊相等的扇形（偶數塊）··然後拼接為長方形···於是長方形的長等於圓周長的一般··寬就是半徑··
也就是說s=c/2*r
而圓的周長的演算法··中國古算書《周髀算經》（ 約西元前2世紀）中有「徑一而週三」的記載，認為圓周率是常數。歷史上曾採用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實驗而得到的結果，包括現在我們所用的3.14也是近似值··那麼周長也就是直徑徑和乙個常數（這裡是π）的乘積
所以c=2πr
s=πr^2
14樓：匿名使用者
用積分，把圓分成無限多個扇形，設扇形的角度為da，（因為希臘字母不好打，用a表示角度，da表示極小的角度，或者說角度的微分。）然後當扇形角度極小時，可以近似用三角形面積公式來算，底為弧長r*da。高為半徑r。
扇形面積為1/2*r*da*r。然後從零積到2π就可以了 。這裡面用的三角形面積公式可以吧。
用了π的值可以吧
15樓：匿名使用者
用無數根相互平行的割線將圓分為n個近似的超級薄長方形。設半徑為第一根，則第x根的長度的平方為
l²(x)=(r² -(x/n)²) ,長方形寬為r/n,圓的面積表示為s=所有長方形面積之和（n->無窮)
特殊字元不太熟練，還是描述好了。
s的表示式可以提出常因子r²，剩下的部分必定是乙個有限值，因為圓的面積是有限的，於是將剩下的部分用乙個字母表示。僅此而已。
16樓：壞蛋壞蛋壞蛋
1在把圓換成長方形時，也就是小學的那個最簡單的方法下，最後極限到乙個點時，底就是圓的周長而不是周長的一半因為圓心也是乙個點
2圓的面積就是圓的周長個半徑
所以不管怎麼說這個公式我一直懷疑
17樓：窗下的背影
圓的周長為2 πr ,取乙個與圓x^2+y^2=r^2同心的圓，再在此圓的半徑基礎上增加一非常小的長度dr，則增加的一小段圓環的面積為2πr*dr則圓的面積為從0到r積分 ∫2πrdr=πr^2.
求各位數學高手
1 7分之4 9分之5 21分之11 從小到大排 21分之11 9分之5 7分之4 2 乙個雞蛋的質量為25分之1千克，比鵝蛋的質量少25分之3千克，而乙個鴕鳥蛋的質量可達1又2分之1千克。問鴕鳥蛋的質量比鵝蛋的質量多多少千克？1又2分之1 25分之1 3 2 1 25 73 50 五十分之七十三千...
圓的面積公式是S r中,S與r成正比例嗎
s r 1 s與r不成正復比例。制y和x成正比例時，x增加n倍，y也增加n倍 圓半徑增加n倍，圓面積增加n 2倍。所以s與r不成正比例關係。而圓的周長l 2 r 2 與半徑成正比例關係。但是 s r 可以說成 圓面積s與半徑的平方 r 2 成正比例關係 這是因為 r 2 增加n倍，園面積也增加n倍 ...
求各位數學高手教教我這道題的解題思路和步驟，謝謝
乙每到乙個頂點要4 3min 甲要8 7min 他們兩要同時到乙個頂點需8min,第一次同道乙個頂點時甲在d,乙在d,不是相對的所以不行，再看第二次也就是第16min,甲在c,乙在b也不行，第三次甲在b,乙在d a 24min 他們每160 35 30 相遇一次24 160 35 30 9.75 第...