1樓:匿名使用者
我這裡有乙個求解cauchy問題解析解的簡便方法,是我們老師做的,可以在較短時間內求波動方程、弦振動方程的初值問題的解析解,這個方法和維數無關。
推導簡單,但我沒有詳寫。
希望有所幫助。
數學物理方程的主要類容是什麼?急求!!!不少於1500字。各位幫幫忙,
2樓:匿名使用者
描述許多自然現象的數學形式都可以是偏微分方程序,特別是很多重要的物理力學及工程過程的基本規律的數學描述都是偏微分方程,例如流體力學、電磁學的基本定律都是如此。這些反映物理及工程過程的規律的偏微分方程就是所謂的數學物理方程。當然,幾何學中的很多問題也是可以用偏微分方程來描述的。
人們對偏微分方程的研究,從微分學產生後不久就開始了。例如,18世紀初期及對弦線的橫向振動研究,其後,對熱傳導理論的研究,以及和對流體力學、對位函式的研究,都獲得相應的數學物理方程信其有效的解法。到19世紀中葉,進一步從個別方程的深入研究逐漸形成了偏微分的一般理論,如方程的分類、特徵理論等,這便是經典的偏微分方程理論的範疇。
然而到了20世紀隨著科學技術的不斷發展,在科學實踐中提出了數學物理方程的新問題,電子計算機的出現為數學物理方程的研究成果提供了強有力的實現手段。又因為數學的其他分支(如汎函分析、拓撲學、群論、微分幾何等等)也有了迅速發展,為深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20世紀關於數學物理方程的研究有了前所未有的發展,這些發展呈如下特點和趨勢:
一、在許多自然科學及工程技術中提出的問題的數學描述大多是非線性偏微分方程,即使一些線性偏微分方程作近似處理的問題,由於研究的深入,也必須重新考慮非線性效應。對非線性偏微分方程研究,難度大得多,然而對線性偏微分方程的已有結果,將提供很多有益的啟示。
二、實踐中的是由很多因素聯合作用和相互影響的。所以其數學模型多是非線性偏微分方程組。如反應擴散方程組,流體力學方程組電磁流體力學方程組,輻射流體方程組等,在數學上稱雙曲-拋物方程組。
三、數學物理方程不再只是描述物理學、力學等工程過程的數學形式。而目前在化學、生物學、醫學、農業、環保領域,甚至在經濟等社會科學住房領域都不斷提出一些非常重要的偏微分方程。
四、乙個實際模型的數學描述,除了描述過程的方程(或方程)外,還應有定解條件(如初始條件及邊值條件)。傳統的描述,這些條件是線性的,逐點表示的。而現在提出的很多定解條件是非線性的,特別是非區域性的。
對非區域性邊值問題的研究是乙個新的非常有意義的領域。
五、與數學其他分支的關係。例如幾何學中提出了很多重要的非線性偏微分方程,如極小曲面方程,調和映照方程,方程等等。泛函分析、拓撲學及群論等現代工具在偏微分方程的理論研究中被廣泛應用,例如空間為研究線性信非線性偏微分方程提供了強有力的框架和工具。
廣義函式的應用使得經典的線性微分方程理論更系統完善。再就是計算機的廣泛應用,計算方法的快速發展,特別是有限元廣泛 的應用,使得對偏微分方程的研究得以在實踐中實現和檢驗。
用數學方法處理應用問題時,首先是要建立合理的數學模型,而很多情況下這種模型是偏微分方程。乙個模型的建立是乙個相當複雜的過程。
講授大綱與各章的基本要求
第一章 波動方程
教學要點:
通過本章的教學使學生初步了解數理方程方法及特點,掌握方程的解法,及所表示的物理意義。
1. 使學生了解波動方程的匯出方法。
2. 領會定解條件及意義。
3. 熟練掌握初邊值問題的分離變數法解方程。
4. 能解高維波動方程的柯西問題。
5. 明確波的傳播與衰減的意義。
6. 用能量不等式確定方程解的唯一性和穩定性。
教學時數:20學時
教學內容:
第一節 方程的匯出、定解條件
第二節 達朗貝爾公式、波的傳播
第三節 初邊值問題的分離變數法
第四節 高維波動方程的柯西問題
第五節 波的傳導與衰減
第六節 能量不等式、波動方程解的唯一性和穩定性
考核要求:
第一節 方程的匯出、定解條件 (領會與應用)
第二節 達朗貝爾公式、波的傳播 (領會)
第三節 初邊值問題的分離變數法 (領會與應用)
第四節 高維波動方程的柯西問題 (領會與應用)
第五節 波的傳導與衰減 (領會)
第六節 能量不等式、波動方程解的唯一性和穩定性 (領會與應用)
第二章 熱傳導方程
教學要點:
通過本章的教學使學生初步了解通過物理原理建立熱傳導方程,能用分離變數法解初邊值問題,用傅利葉變換對柯西問題求解,用極值原理確定定解問題解的唯一性和穩定性。
教學時數:15學時
教學內容:
第一節 熱傳導方程及其定解問題的匯出
第二節 初邊值問題的分離變數法
第三節 柯西問題
第四節 極值原理、定解問題解的唯一性和穩定性
考核要求:
第一節 熱傳導方程及其定解問題的匯出 (領會)
第二節 初邊值問題的分離變數法 (領會與應用)
第三節 柯西問題 (領會與應用)
第四節 極值原理、定解問題解的唯一性和穩定性 (領會與應用)
第三章 調和方程
教學要點:
通過本章的教學使學生能夠建立調和方程,明確定解條件,熟練掌握格林公式及其應用,了解格林函式,及用強極值原理判定第二邊值問題解的唯一性。
教學時數:15學時
教學內容:
第一節 建立方程、定解條件
第二節 格林公式及其應用
第三節 格林函式
第四節 強極值原理、第二邊值問題解的唯一性
考核要求:
第一節 建立方程、定解條件 (應用)
第二節 格林公式及其應用 (領會與應用)
第三節 格林函式 (領會)
第四節 強極值原理、第二邊值問題解的唯一性 (領會與應用)
第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結
教學要點:
通過本章的教學使學生初步掌握二階線性方程的分類方法,二階線性方程的特徵理論,三類方程的特點。
教學時數:12學時
教學內容:
第一節 二階線性方程的分類
第二節 二階線性方程的特徵理論
第三節 三類方程的比較
考核要求:
第一節 二階線性方程的分類 (識記與領會)
第二節 二階線性方程的特徵理論 (識記與領會)
第三節 三類方程的比較 (識記與領會)
第五章 積分論
教學要點:
通過本章的教學使學生初步了解一階偏微分方程組的概念及特徵理論,明確兩個自變數的線性雙曲型方程組的柯西問題及定解問題,掌握二級數解法。
教學時數:10學時
教學內容:
第一節 引言 1.一階偏微分方程組的例子 2.一階方程組與高階方程的關係,
第二節 兩個自變數領子的一階線性偏微分方程的特徵理論.
第三節 兩個自變數的線性雙曲型方程組的柯西問題
第四節 兩個自變數的線性雙曲型方程組的其它定解問題
第五節 二級數解法 (應用)
考核要求:
第一節 引言 1.一階偏微分方程組的例子 2.一階方程組與高階方程的關係,(領會)
第二節 兩個自變數領子的一階線性偏微分方程的特徵理論. (識記與領會)
第三節 兩個自變數的線性雙曲型方程組的柯西問題 (識記與領會)
第四節 兩個自變數的線性雙曲型方程組的其它定解問題 (識記與領會)
三.推薦教材和參考數目
1.《數學物理方程》,谷超豪等編,第二版,高等教育出版社,2002
2.《數學物理方程》,吉洪諾夫等編,黃克顧譯,第二版,高等教育出版社,1961
3.《數學物理方法》,南京工學院數學教研組編,高等教育出版社, 1982
4.《高等數學》,四川大學數學系編,第四版,人民教育出版社,1979
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