1樓:匿名使用者
解: 二次型的矩陣 a=
2 0 0
0 3 2
0 2 3
|a-λ
e| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 a 的特徵值為 1,2,5.
(a-e)x=0 的基礎解系內為容 a1=(0,1,-1)'.
(a-2e)x=0 的基礎解系為 a2=(1,0,0)'.
(a-5e)x=0 的基礎解系為 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 單位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 p = (b1,b2,b3), 則 p 是正交矩陣, 且p^-1ap = diag(1,2,5).
故 x=py 是正交變換, 滿足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.
線性代數題急 求乙個正交變換x=py,將二次型f(x1,x2,x3)=5x1^2+5x2^2+2x3^2-8x1x2-4x1x2+4x2x3化為標準型。
2樓:匿名使用者
解: 二次型的矩陣 a =
5 -4 -2
-4 5 2
-2 2 2
|a-λe| =
5-λ -4 -2
-4 5-λ 2
-2 2 2-λ
r1+2r3,r2-2r3
1-λ 0 2(1-λ)
0 1-λ -2(1-λ)
-2 2 2-λ
c3+2c2
1-λ 0 2(1-λ)
0 1-λ 0
-2 2 6-λ
= (1-λ)[(1-λ)(6-λ)+4(1-λ)]= (1-λ)^2(10-λ)
所以 a 的特徵值為 λ1=λ2=1,λ3=10.
(a-e)x=0 的基礎解系為: a1=(1,1,0)',a2=(1,0,2)'
正交化得: b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,4)'
單位化得: c1=(1/√2,1/√2,0)',c2=(1/√18,-1/√18,4/√18)'
(a-10e)x=0 的基礎解系為: a3=(-2,2,1)'
單位化得: c3=(-2/3,2/3,1/3)'
令p=(c1,c2,c3)=
1/√2 1/√18 -2/3
1/√2 -1/√18 2/3
0 4/√18 1/3
則 p為正交矩陣
x=py是正交變換, 使
f = y1^2+y2^2+10y3^2
求正交變換x=py ,將二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2-2x1x2-2x1x3-2x2x3 化為標準形,並寫出其標準形
3樓:匿名使用者
^解: 二次型的矩陣a=
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
|a-λe| = -λ(λ-3)^2
所以a的特徵值為 3,3,0
(a-3e)x=0的基礎解系為 a1=(1,-1,0)^t,a2=(1,1,-2)^t [正交]
ax=0的基礎解系為 a3=(1,1,1)^t單位化得
b1=(1/√2,-1/√2,0)^t,b2=(1/√6,1/√6,-2/√6)^t,b3=(1/√3,1/√3,1/√3)^t
令q=(b1,b2,b3)=
1/√2 1/√6 1/√3
-1/√2 1/√6 1/√3
0 -2/√6 1/√3
則q是正交矩陣, x=qy是正交變換,
且f=3y1^2+3y2^2.
求正交變換x=py ,將二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2-2x1x2-2x1x3-2x2x3 化為標準形,並寫出其標準形. 5
4樓:鳥窠道人
記x' = (x1, x2, x3);
那麼抄f(x) = x' a x
其中 a = [ 2, -1, -1; -1, 2, -1; -1, -1, 3]
因為x = py是正交變換襲
代入f(x)得到:
f(y) = y' (p'ap) y是乙個標準型,那麼(p'ap)是乙個對角矩陣。
這樣就很簡單了,只要對a對角化就行了。
下面你自己做下去吧!不會可以追問,或者看一題對角化的例題,呵呵,加油。
求乙個正交變換 x=py 把二次型化為標準型。f= 2x1x2+2x1x3+2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4 15
5樓:墨汁諾
^y1和y2只是代表變數的符號,
比如也可以寫成
3x^2+3y^2
關鍵是係數必須分別取0,3,3
需要注意的是版所用的變換
x=py
要與最終結權論對應起來
若p的列向量分別屬於特徵值0,3,3
則結果就應該是3y22+3y32
f(x1,x2,x3) = (x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + (x1+x3)^2
設y1 = x1 + x2
y2 = x2 + x3
y3 = x1 + x3
然後用y表示x就行
x1 = 1/2 (y3-y2 +y1)
x2 = 1/2 (y1-y3+y2)
x3 = 1/2 (y1-y2+y3)
寫成x = p y
p就是所求正交變換。
用正交變換化簡二次型與正交相似對角化有什麼區別
n元二次型化標準形，具體解題步驟 1 寫出二次型矩陣a 2 求矩陣a的特徵值 1，2，n 3 求矩陣a的特徵向量 1，2，n 4 改造特徵向量 單位化 schmidt正交化 1，2，n 5 構造正交矩陣p 1，2，n 則經過座標變換x py，得 xtax ytby 1y1 2y2 nyn 相似對角化...
關於二次型中（不要求正交變換）求得的特徵向量不進行正交化得出的結果和正交化不一樣的幾個問題
找到這個題了,電子bai版 411 頁.這樣du不對.變換zhi必須是合同變換才行dao 故需p為正交矩陣 p1 1ap1 diag 0,4,9 這沒問題版 但是 x p1y 代入二次型得權到的是f p1y ta p1y y t p1 tap1 y y t p1 1ap1 y 4y2 2 9y3 2...
數學軟體題 用正交變換化二次型為標準型，並寫出所做的正交變換
能做複這道題的，應該是制 數學系學習高等代數的。而且已經不是第一學期了。如果是非數學專業，應該是相當好的學校的重要理工科。因此，我只是說思路，如果聽不懂可以追問.首先，根據現行空間分解理論 現行空間可以按照特徵值分解成根子空間的直和 注意，是根子空間，體現幾何維數 因此，任何乙個矩陣可以通過正交變換...