1樓：
直線為y=kx+h，在橢圓上兩截點為（acosθ1，bsinθ1）（acosθ2，bsinθ2）
弦長為√（k^2+1）*a丨cosθ1-cosθ2丨bsinθ=kacosθ+h，變形後為(a^2k^2+b^2)cosθ^2+2ahkcosθ+(h^2-b^2)=0,兩解即為θ1，θ2
用韋達定理可求cosθ1+cosθ2和cosθ1*cosθ2，然後就能得到丨cosθ1-cosθ2丨
就能用h表示弦長，最後就是求最值問題了。
2樓：不要斷網
設x²/a²+y²/b²=1 a為長半軸，b為短半軸 不妨設y=kx+m k為定值，m為變數，則這是一個直線系 並且y=kx+m與x²/a²+y²/b²=1相交於 a(x1,y1) b(x2,y2) 則得到方程 (b²+a²k²)x²+2kma²+a²m²-a²b²=0 |x1-x2|=√=[-4a²b²m²+4a²b²(b²+a²k²)]/(b²+a²k²) |ab|=|x1-x2|√(1+k²)=√(1+k²) 其中只有m為變數 顯然只需要 m=0 可以得到 |ab|的最大值 即 當y=kx+m過原點時，其與橢圓相交所截長度為最大
如何證明斜率確定的直線過橢圓中心時被橢圓所截的弦最長
3樓：裘珍
^證明：設橢圓的標準方程為x^62616964757a686964616fe78988e69d83313333656338352/a^2+y^2/b^=1,為了便於計算,整理為:(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2...
(1); 直線方程為 ：y=kx+m.....(2); 與（1）聯立，求解x和y。
將（2)代入(1),得：
[b^2+(ka)^2]x^2+2kma^2x+m^2-(ab)^2=0;△=(2kma^2)^2-4[b^2+(ka)^2](m^2-(ab)^2) =4; 令：p=[(ka^2)^2-b^2-(ka)^2],r=[b^2+(ka)^2], q=[b^2+(ka)^2](ab)^2; △=4pm^2+q.......(3)
設直線與橢圓的交點分別為a（x1,y1), b(x2,y2), ab弦長為:l=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] 由（2）得：y1-y2=kx1+m-kx2-m=k(x1-x2), 代入(4),得：
l=√[（1+k）(x1-x2)^2]...(5);( x1-x2)只與 √△/2r有關，(x1-x2)^2=2(√△/2r)^2=2*(3)/4r^2.代入(5),得:
l=(2pm^2+2q)/r^2;
l‘=4pm/r^2=0, 因為p>0, r^2>0,所以，當m=0shi, l有極大值，也是其最大值。使（1）為：y=kx。
因此，在y=kx+m 的直線族中，當m=0時，橢圓中的弦最長。證畢。
如何證明圓心o到橢圓任意一條弦的中點的斜率與這條弦的斜率之積為1/2
4樓：匿名使用者
設橢圓x^2+y^2/b^2=1(a>b>0),①把直線y=kx+m,②
代入①，得b^2x^2+a^2(k^2x^2+2kmx+m^2)=a^2b^2,
整理得(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0,
設①②的交點座標為m(x1,y1),n(x2,y2),則x1+x2=-2a^2km/(b^2+a^2k^2),mn的中點p的座標xp=(x1+x2)/2=-a^2km/(b^2+a^2k^2),
yp=kxp+m=b^2m/(a^2+a^2k^2),o是橢圓的中心（原點），
∴kop=yp/xp=-b^2/(a^2k),∴k*kop=-b^2/a^2.
您給的命題不成立。
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