1樓：
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下： ⅰ 0是自然數； ⅱ 每乙個確定的自然數a，都有乙個確定的後繼數a' ，a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。
） 可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。
因此，我們要對自然數結構再做一下限制： ⅲ 0不是任何自然數的後繼數； 但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。
看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。 ⅳ如果b、c的後繼數都是自然數a，那麼b = c； 最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.
3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。 ⅴ 設s⊆n，且滿足2個條件（i）0∈s；（ii）如果n∈s，那麼n'∈s。則s是全體自然數的集合，即s=n。
(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性) 注：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為「n=0或n為其它數的後繼數」，那麼滿足歸納公設的條件。
若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。
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