1樓：周洲
在數學中，微分是對函式的區域性變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。
當自變數為固定值
需要求出曲線上一點的斜率時，前人往往採用作圖法，將該點的切線畫出，以切線的斜率作為該點的斜率。然而，畫出來的切線是有誤差的，也就是說，以作圖法得到的斜率並不是完全準確的斜率。微分最早就是為了從數學上解決這一問題而產生的。
以y=x^2為例，我們需要求出該曲線在(3,9)上的斜率，我們可以假設在y=x^2上有另一點(3+δx,9+δy)，畫一條過這兩點的直線，該直線的斜率為δy/δx。我們知道，這兩點之間的距離越短，過這兩點直線的斜率就越接近所求的斜率m，當δx與δy的值變得無限接近於0時，直線的斜率就是點的斜率。 當x=3+δx時，y=9+δy，也就是說， (3+δx)^2=9+δy 9+6δx+(δx)^2=9+δy （） 6δx+(δx)^2=δy （兩邊減去9） δy/δx=6+δx （兩邊除以δx） ∵limδx→0 m=δy/δx ∴limδx→0 m=6+δx=6 我們得出，y=x^2在點(3,9)處的斜率為6。
當自變數為任意值
在很多情況下，我們需要求出曲線上許多點的斜率，如果每乙個點都按上面的方法求斜率，將會消耗大量時間，計算也容易出現誤差，我們現在仍以y=x^2為例，計算圖象上任意一點的斜率m。 假設該點為(x,y)，做對照的另一點為(x+δx,y+δy)，我們按上面的方法再計算一遍： (x+δx)^2=y+δy x^2+2xδx+(δx)^2=y+δy （） 2xδx+(δx)^2=δy （y=x^2，兩邊減去y） δy/δx=2x+δx （兩邊除以δx） ∵limδx→0 m=δy/δx ∴limδx→0 m=2x+δx=2x 我們得出，y=x^2在點(x,y)處的斜率為2x。
limδx→0 δy/δx=m被記作dy/dx=m。
定義微分
設函式y = f(x)在x0的鄰域內有定義，x0及x0 + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為 δy = aδx + o(δx)（其中a是不依賴於δx的常數），而o(δx0)是比δx高階的無窮小，那麼稱函式f(x)在點x0是可微的，且aδx稱作函式在點x0相應於自變數增量δx的微分，記作dy，即dy = aδx。函式的微分是函式增量的主要部分，且是δx的線性函式，故說函式的微分是函式增量的線性主部（△x→0）。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。
因此，導數也叫做微商。 當自變數x改變為x+△x時，相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x)，如果存在乙個與△x無關的常數a，使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差是△x→0關於△x的高階無窮小量，則稱a·△x是f(x)在x的微分，記為dy，並稱f(x)在x可微。一元微積分中，可微可導等價。
記a·△x=dy，則dy=f′(x)dx。例如：d(sinx)=cosxdx。
微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小區域性可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函式的線性化。微分具有雙重意義：它表示乙個微小的量，同時又表示一種與求導密切相關的運算。
微分是微分學轉向積分學的乙個關鍵概念。微分的思想就是乙個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函式曲線的區域性，用直線代替曲線，而線 微分
性函式總是比較容易進行數值計算的，因此就可以把線性函式的數值計算結果作為本來函式的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。
推導設函式在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函式的增量可表示為，其中a是不 依賴於△x的常數， 是△x的高階無窮小，則稱函式 在點x0可微的。 叫做函式 在點x0相應於自變數增量△x的微分，記作dy，即：dy= 。
微分dy是自變數改變量△x的線性函式，dy與△y的差 是關於△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出： 當△x→0時，△y≈dy。
導數的記號為： 還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變數的增量等於自變數的微分)，還可表示
幾何意義
設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量，δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量，dy是曲 幾何意義
線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時，|δy－dy|比|δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點m附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。
同理，當自變數為多個時，可得出多元微分的定義。
單項式當函式為單項式y=ax^n（a和n為常數）的形式時，有基本公式： dy/dx=anx^(n-1)或d/dx(ax^n)=anx^(n-1) 如d/dx(x^2)=2x，d/dx(3x^5)=15x^4。 當a為常數時，d/dx(ax)=a且d/dx(a)=0。
注意：基本公式極為重要，在學習更為複雜的運算法則前請務必牢記。
多項式當函式為幾個ax^n形式的單項式的和或差時，這個函式的微分只需在原函式的微分上進行加減即可。 以函式y=ax^m+bx^n為例，將其拆分為兩個函式u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。 可以得出du/dx=amx^(m-1)，dv/dx=bnx^(n-1)。
∵y=u+v ∴δy=δu+δv ∴δy/δx=δu/δx+δx/δx ∴dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^(m-1)+bnx^(n-1) ∴d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1) 同理可以得出d/dx(ax^m-bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1) 最後得出公式： d/dx(ax^m±bx^n)=amx^(m-1)±bnx^(n-1) 有了這兩個公式，我們可以微分大部分常見的初等函式。 注意：
f'(x)是函式f(x)的微分。
當需要微分(x+1)^2時，我們可以將其成為x^2+2x+1後將其微分，得到2x+2。然而，當我們遇到類似(3x+1)^5這樣的式子時，將其將浪費許多時間和精力，這時我們可以使用連鎖律來解決這個問題。 假設y=f(x)且z=f(y)：
∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx) ∴limδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx) 又∵limδx→0,limδz→0 ∴limδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx) 得出公式： dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) 以y=(3x+1)^5為例，使用微分法微分： 假設z=3x+1，y=z^5。
d/dx[(3x+1)^5]=dy/dx =(dy/dz)×(dz/dx) =[d/dz(z^5)]×[d/dx(3x+1)] =(5z^4)(3) =15z^4 =15(3x+1)^4 （不需要） 這樣我們就可以輕鬆得出(3x+1)^5的微分。
連鎖律的應用1
連鎖律一般被用來求y^n的微分（y=f(x)且n為常數），我們可以用連鎖律獲得更簡單的公式。 以(ax+b)^n為例，假設y=ax+b： d/dx(y^n) =d/dy(y^n)×dy/dx （連鎖律） =[ny^(n-1)](a) =any^(n-1) =an(ax+b)^(n-1) 可以得出：
d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) d/dx[(ax+b)^n]=an(ax+b)^(n-1)
連鎖律的應用2
在日常生活中，n除經常取整數外，還經常取1/2，即y=√z。 同樣以y=√z（z是自變數為x的函式）為例，使用剛得到的公式進行微分： dy/dx =(dy/dz)×(dz/dx) （連鎖律） =[0.
5z^(-0.5)](dz/dx) 得出另乙個公式： d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y) 以上兩個公式可以在大多數情況下代替連鎖律使用，它們比連鎖律更容易使用。
當我們需要求出(x+1)(x-1)的微分時，我們可以將其成為x^2-1，然後進行微分，得出2x。但是當我們遇到(x+1)(x-1)^7這種式子的時候，將其極為繁瑣，而連鎖律也不能直接使用，這時我們就需要乘法律拆分這個式子，然後才能將其微分。 假設u和v都是自變數為x的函式：
uv=u(v) uv+δ(uv)=(u+δu)(v+δv) uv+δ(uv)=uv+uδv+vδu+δuδv （） δ(uv)=uδv+vδu+δuδv （兩邊減去uv） ∵limδx→0 δu=0且limδx→0 δv=0 ∴limδx→0 δuδv=0 ∴limδx→0 δ(uv)=limδx→0 (uδv)+limδx→0 (vδu) ∴duv/dx=u(dv/dx)+v(du/dx) 最後得出乘法律： d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx) 我們用乘法律微分(x+1)(x-1)^7： d/dx[(x+1)(x-1)^7] =(x+1)d/dx[(x-1)^7]+[(x-1)^7]d/dx(x+1) （乘法律） =(x+1)[7(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6] （連鎖律） =(7x+7)[(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6] =(7x+7+x-1)[(x-1)^6] =(8x+6)[(x-1)^6] =2(4x+3)[(x-1)^6] 注意：
在得到微分結果後，必須將其因式分解。
乘法律的應用1
在微分(x+1)(x-1)^7時，我們需要進行繁瑣的因式分解，我們可以總結出乙個公式，以解決類似的問題。 假設a、b、m、n、p和q都是常數： d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b] =[(mx+n)^a]d/dx[(px+q)^b]+[(px+q)^b]d/dx[(mx+n)^a] =[(mx+n)^a][b(px+q)^(b-1)]+[(px+q)^b][a(mx+n)^(a-1)] =b[(mx+n)^a][(px+q)^(b-1)+a[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^b] =b(mx+n)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+a(px+q)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] =(bmx+bn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+(apx+aq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] =(bmx+apx+bn+aq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] =[(ap+bm)x+(aq+bn)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 得出公式：
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(ap+bm)x+(aq+bn)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 這個公式可以用來微分形如[(mx+n)^a][(px+q)^b]的式子。
乘法律的應用2
有時我們會接觸u√v型別的式子，我們試著因式分解它： d/dx(u√v) =u(d/dx√v)+√v[d/dx(u)] （乘法律） =u(dv/dx)/(2√v)+(√v)(du/dx) =(u/2)(dv/dx)/(√v)+v(du/dx)/(√v) =[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v) 得出公式： d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
乘法律的應用3
假設y是自變數為x的函式且a為常數，我們來嘗試微分ay。 =d/dx(ay) =a(dy/dx)+y[d/dx(a)] （乘法律） =a(dy/dx) （d/dx(a)=0） 從結果得出公式： d/dx(ay)=a(dy/dx)
我們需要微分分式(x^2+x+1)/x時，我們可以將其化為x+1+1/x，微分後得到1-1/x^2。但這種方法對分母為多項式的分式是無效的，所以除法律被用來解決大部分分式的微分問題。我們可以用乘法律，假設其中乙個乘式是分子為1的分式，以此推導出除法律。
假設u和v都是自變數為x的函式： d/dx(u/v) =d/dx[u(1/v)] =u[d/dx(1/v)]+(1/v)(du/dx) （乘法律） =u(dv/dx)[d/dv(1/v)]+(du/dx)/v （連鎖律） =-u(dv/dx)(1/v^2)+(du/dx)/v =-u(dv/dx)/(v^2)+v(du/dx)/(v^2) =[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) 這樣我們得出除法律： d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)
除法律的應用1
除法律的應用的常用格式與乘法律相同，首先是[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]型別的微分： d/dx =/(px+q)^(2b) （除法律） =/(px+q)^(2b) =/(px+q)^(2b) =(apx+aq-bmx-bn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]/(px+q)^(2b) =[(ap-bm)x+(aq-bn)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1) 得出公式： d/dx=[(ap-bm)x+(aq-bn)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1)
除法律的應用2
我們用除法律微分形如u/√v的式子： d/dx(u/√v) =[(√v)(du/dx)-(u)d/dx(√v)]/v （除法律） =[(√v)(du/dx)-(u/2)(dv/dx)/(√v)]/v =[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v) 得出公式： d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)
除法律的應用3
當分式的分子為常數時，我們有更快的方法微分它： d/dx(a/y) =[(y)d/dx(a)-a(dy/dx)]/(y^2) （連鎖律） =a(dy/dx)/(y^2) （d/dx(a)=0） 得出公式： d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)
基本法則
dy/dx=d/dx[f(x)]=f'(x) d/dx(ax^n)=anx^(n-1) d/dx(ax)=a d/dx(a)=0 d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1)
連鎖律dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) d/dx[(ax+b)^n]=an(ax+b)^(n-1) d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)
乘法律d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx) d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(ap+bm)x+(aq+bn)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v) d/dx(ay)=a(dy/dx)
除法律d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) d/dx=[(ap-bm)x+(aq-bn)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1) d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v) d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)
d(x^3/3)=x^2dx 基本公式
d(-1/x)=1/x^2dx d(lnx)=1/xdx d(-cosx)=sinxdx d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx
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