1樓：日向あ舞
一． 傅利葉級數的三角函式形式
設f(t)為一非正弦週期函式，其週期為t，頻率和角頻率分別為f , ω1。由於工程實際中的非正弦週期函式，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它成傅利葉級數。即
其中a0/2稱為直流分量或恆定分量；其餘所有的項是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數倍關係的一些正弦量。a1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波，a1，ψ1分別為其振幅和初相角；a2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，a2，ψ2分別為其振幅和初相角；其餘的項分別稱為三次諧波，四次諧波等。基波，三次諧波，五次諧波……統稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波……統稱為偶次諧波；除恆定分量和基波外，其餘各項統稱為高次諧波。
式（10-2-1）說明乙個非正弦週期函式可以表示乙個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。
上式有可改寫為如下形式，即
當a0，an, ψn求得後，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦週期函式f(t)的傅利葉級數式。
把非正弦週期函式f(t)成傅利葉級數也稱為諧波分析。工程實際中所遇到的非正弦週期函式大約有十餘種，它們的傅利葉級數式前人都已作出，可從各種數學書籍中直接查用。
從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)後即可證明有
a-n=an
b-n=-bn
a-n=an
ψ-n=-ψn
即an和an是離散變數n的偶函式，bn和ψn是n的奇函式。
二． 傅利葉級數的復指數形式
將式（10-2-2）改寫為
可見 與 互為共軛複數。代入式（10-2-4）有
上式即為傅利葉級數的復指數形式。
下面對和上式的物理意義予以說明：
由式（10-2-5）得的模和輻角分別為
可見的模與幅角即分別為傅利葉級數第n次諧波的振幅an與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的複數振幅。
的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有
上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即
即根據式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)成了復指數形式的傅利葉級數。
在（10-2-7）中，由於離散變數n是從（-∞）取值，從而出現了負頻率（-nω1）。但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現只具有數學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了乙個頻率為nω1的正弦分量。即
引入傅利葉級數復指數形式的好處有二：（1）複數振幅同時描述了第n次諧波的振幅an和初相角ψn；（2）為研究訊號的頻譜提供了途徑和方便。
自己看：http://www1.
gdou.edu.**/***y/dljc/ml.
2樓：
法國數學家傅利葉發現，任何週期函式都可以用正弦函式和余弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與余弦函式作為基函式是因為它們是正交的），後世稱為傅利葉級數(法文：série de fourier，或譯為傅利葉級數)，
傅利葉級數的公式
給定乙個週期為t的函式x(t)，那麼它可以表示為無窮級數：
x(t)=\sum _^a_k\cdot e^)t}（j為虛數單位）（1）
其中，ak可以按下式計算：
a_k=\frac\int_x(t)\cdot e^)t}（2）
注意到f_k(t)=e^)t}是週期為t的函式，故k 取不同值時的週期訊號具有諧波關係（即它們都具有乙個共同週期t）。k=0時，（1）式中對應的這一項稱為直流分量，k=\pm 1時具有基波頻率\omega_0=\frac，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
傅利葉級數的收斂性
傅利葉級數的收斂性：滿足狄利赫里條件的週期函式表示成的傅利葉級數都收斂。狄利赫里條件如下：
1. 在任何週期內，x(t)須絕對可積；
2. 在任一有限區間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；
3. 在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t)，那麼x(t)在這些點上會有起伏。乙個簡單的例子是方波訊號。
三角函式族的正交性
所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關的，所以必然可以張成乙個n維空間，也就是說，空間中的任何乙個向量可以用它們來線形表出。
三角函式族的正交性用公式表示出來就是：
\int _^\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;
\int _^\sin (nx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _^\cos (nx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _^\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;
\int _^\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
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奇函式和偶函式
奇函式fo(x)可以表示為正弦級數：
f_o(x) = \sum _^b_k \sin(kx)；
而偶函式fe(x)則可以表示成余弦級數：
f_e(x) = \frac+\sum _^a_k\cos(kx)。
只要注意到尤拉公式: ejθ = cosθ + jsinθ，這些公式便可以很容易從上面傅利葉級數的公式中匯出。
3樓：匿名使用者
§11.8 傅利葉級數
一、三角級數與三角函式系的正交性
描述簡諧振動的函式
就是乙個以 為週期的正弦函式，其中y表示動點的位置，t表示時間，a為振幅， 為角頻率， 為初相。
在實際問題中，還會遇到一些更複雜的週期函式，如電子技術中常用的週期為t的矩形波。
如何深入研究非正弦週期函式呢？聯絡到前面介紹過的用函式的冪級數式表示與討論函式，我們也想將週期函式成由簡單的週期函式例如三角函式組成的級數，具體的來說，將週期為 的週期函式用一系列三角函式 組成的級數來表示，記為
(1)其中 都是常數。
將週期函式按上述方式，它的物理意義量很明確的，這就是把乙個複雜的週期運動看成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加，在電工學上這種稱為諧波分析。
為了討論的方便，我們將正弦函式 變形成為
並且令 則(1)式右端的級數就可以改寫為
(2)一般地，形如(2)式的級數叫做三角級數，其中 都是常數。
如同討論冪級數時一樣，我們必須討論三角級數(2)的收斂問題，以及給定週期為2 的週期函式如何把它成三角級數(2)。
我們首先介紹三角函式系的正交性。
所謂三角函式系
(3)在區間[ ]上正交，就是指在三角函式系(3)中任何兩個不同函式乘積在區間[ ]上的積分等於零，即
4樓：手機使用者
法國數學家、物理學家。2023年3月21日生於歐塞爾，
2023年5月16日卒於巴黎。9歲父母雙亡， 被當地教堂收養。12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。
17歲（1785）回鄉教數學，1794到巴 黎，成為高等師範學校的首批學員， 次年到巴黎綜合工科學校執教。2023年隨拿破崙遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，2023年回國後任伊澤爾 省地方長官。2023年當選為科學院院 士，2023年任該院終身秘書，後又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。
主要 貢獻是在研究熱的傳播時創立了一套數學理論。2023年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》**， 推導 出著名的熱傳導方程 ，並在求解該方程時發現解函式可以由三角函式構成的級數形式表示，從而提出任一函式都可以展成三角函式的無窮級數。
1822 年在代表作《熱的分析理論》中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對19 世紀數學和理論物理學的發展產生深遠影響。傅利葉級數（即三角級數）、傅利葉分析等理論 均由此創始。其他貢獻有：
最早使用定積分符號，改進了代數方 程符號法則的證法和實根個數 的判別法等。
（二）傅利葉（fourier，1772—1837）2023年4月生在法國乙個富商家庭，自幼勤奮好學，善於思考問題。在他的學說中，他無情揭露資本主義社會的種種罪惡，建立起自己的空想社會主義思想體系。傅利葉為了自己的美好的設想，曾進行過一些嘗試。
雖然他的設想都失敗了，但傅利葉關於未來社會的天才設想，卻給科學社會主義的誕生提供了寶貴的思想材料。
這裡提到了三角級數的運用
為什麼有些教材的傅利葉級數表示式不同 例：
5樓：彳亍雲啊
你是指的a0不同嗎，差2倍，觀察一下兩個函式最初的級數表示式，是不是有乙個a0除以2了，乙個沒除以2，也就是說最終結果還是相同的
6樓：科技數碼答疑
第乙個為級數，是離散的
第二個為積分表示式
什麼叫傅利葉係數？
7樓：匿名使用者
傅利葉係數由fourier coefficient翻譯而來，有多個中文譯名，如傅利葉係數。
它是數學分析中的乙個概念，常常被應用在訊號處理領域中。對於任意的週期訊號，如果滿足一定條件，都可以三角函式的線性組合，每個項的係數稱為傅利葉係數。
8樓：匿名使用者
一般地說，若f是以2π為週期且在[-π,π]上可積的函式，則可按公式計算出an和bn，它們稱為函式f（關於三角函式系）的傅利葉係數。這是數學分析中的，你可以去看看公式，在華師大版本64葉
9樓：匿名使用者
傅利葉級數的三角函式形式
設f(t)為一非正弦週期函式，其週期為t，頻率和角頻率分別為f , ω1。由於工程實際中的非正弦週期函式，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它成傅利葉級數。即
其中a0/2稱為直流分量或恆定分量；其餘所有的項是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數倍關係的一些正弦量。a1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波，a1，ψ1分別為其振幅和初相角；a2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，a2，ψ2分別為其振幅和初相角；其餘的項分別稱為三次諧波，四次諧波等。基波，三次諧波，五次諧波……統稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波……統稱為偶次諧波；除恆定分量和基波外，其餘各項統稱為高次諧波。
式（10-2-1）說明乙個非正弦週期函式可以表示乙個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。
上式有可改寫為如下形式，即
當a0，an, ψn求得後，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦週期函式f(t)的傅利葉級數式。
把非正弦週期函式f(t)成傅利葉級數也稱為諧波分析。工程實際中所遇到的非正弦週期函式大約有十餘種，它們的傅利葉級數式前人都已作出，可從各種數學書籍中直接查用。
從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)後即可證明有
a-n=an
b-n=-bn
a-n=an
ψ-n=-ψn
即an和an是離散變數n的偶函式，bn和ψn是n的奇函式。
二． 傅利葉級數的復指數形式
將式（10-2-2）改寫為
可見 與 互為共軛複數。代入式（10-2-4）有
上式即為傅利葉級數的復指數形式。
下面對和上式的物理意義予以說明：
由式（10-2-5）得的模和輻角分別為
可見的模與幅角即分別為傅利葉級數第n次諧波的振幅an與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的複數振幅。
的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有
上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即
即根據式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)成了復指數形式的傅利葉級數。
在（10-2-7）中，由於離散變數n是從（-∞）取值，從而出現了負頻率（-nω1）。但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現只具有數學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了乙個頻率為nω1的正弦分量。即
引入傅利葉級數復指數形式的好處有二：（1）複數振幅同時描述了第n次諧波的振幅an和初相角ψn；（2）為研究訊號的頻譜提供了途徑和方便。
高等數學中的傅利葉級數
傅利葉係數
傅利葉係數包括係數 ，積分號和它的積分域，以及裡面的兩個週期函式的乘積——其中乙個是關於f的，另乙個是關於x的函式f(x),另乙個則是和級數項n有關的三角函式值。這個三角函式可以是正弦，也可以是余弦，因此傅利葉係數包括正弦係數和余弦係數。其中當n=0時，余弦值為1，此時存在乙個特殊的係數 ，它只與x有關。
正弦係數再成乙個正弦，余弦再乘乙個余弦，相加並且隨n求和，再加上一半的 ，就稱為了這個特別的函式f(x)的傅利葉級數。為什麼它特別呢，我想因為這裡只有它只限於乙個週期函式而已，而級數的週期就是f(x)的週期，2 。
如果函式f(x)存在乙個週期，但是不是2 了，而是關於y軸對稱的任意乙個範圍，它還能寫成傅利葉級數麼？也可以的。只要把傅利葉係數裡的 換成l，並且把積分號裡的三角函式中的n 下除乙個l，同時把係數以外的那個n 底下也除乙個l。
其他的都不動。也可以認為，2 週期的傅利葉級數其實三角函式中x前面的係數應該是 ，其他的 （積分域和係數）應該是x，只不過這時所有的l都是 罷了。
前面提及了，週期或是積分域，是關於y軸的乙個任意範圍。其實週期函式不用強調這個，但是為什麼還要說呢？因為要特別強調一下定義域是滿的。
有些函式的定義域不是滿的，是0到l，當然這樣它有可能不是週期的。這些函式能寫成傅利葉級數麼？同樣可以。
而且，它的寫法不再是正弦和余弦函式的累積，而是單獨的乙個正弦函式或是余弦函式。具體怎麼寫，就取決於怎麼做。因為域是一半的，所以自然而然想到把那一半補齊，f就成了週期函式。
補齊既可以補成奇函式也可以補成偶函式。補成積函式，寫成的級數只有正弦項，即 為0。補成偶函式，寫成的級數就只含有余弦項和第一項，即 為0。
而，傅利葉係數相比非積非偶的函式要大一倍。
其實，如果不經延拓，上面那些對於奇偶函式同樣使用。
在做題時，常常看到級數後面跟著乙個係數還有乙個正弦函式，然後後面給出了這個係數很複雜的一串式子，這時候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，會發現其實那個係數不過是乙個有積分的傅利葉係數而已。那麼一大串，應該看什麼呢？
應當先看積分域，一下就可以定出週期了。第二步要明確級數和函式的關係即等價關係。函式不但包含在級數中，而且函式本身也是和級數等價的。
但一般那個級數裡的函式是乙個擺設，不起什麼作用
到底神馬是傅利葉級數
傅利葉級數 聽語音 法國數學家傅利葉發現，任何週期函式都可以用正弦函式和余弦函式構成的無窮級數來表示 選擇正弦函式與余弦函式作為基函式是因為它們是正交的 後世稱傅利葉級數為一種特殊的三角級數，根據尤拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅利葉級數為一種指數級數。中文名傅利葉級數 外文名fourier...
傅利葉級數和泰勒級數是大學那本書上的急急急
在數學中bai,泰勒級數 英du 語 taylor series 用無限項連加式 zhi 級數來表示乙個函式,dao這些內相加的項由函式在某容一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克 泰勒 sir brook taylor 的名字來命名的。通過函式在自變數零點的導數求...
設intx1y1表示式！xy的值是怎
1 先算 x，結果為0 2 再算y 結果為1，y的值變為0 3 再算邏輯或 0或1，結果為1。所以最後結果為1優先順序 自減運算子 邏輯非運算子 邏輯或。基本的優先順序需要記住 指標最優，單目運算優於雙目運算，如正負號。先算術運算，後移位運算，最後位運算。請特別注意 1 3 2 7等價於 1 3 2...