1樓：匿名使用者
設z1=cosa+isina,z2=cosβ+isinβ，a,β∈[0,2π),則
z1z2=cos(a+β)+isin(a+β),令θ≡a+β(mod 2π),θ∈[0,2π),則z1z2=cosθ+isinθ。
一道關於複數的題目
2樓：匿名使用者
(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/[(c+di)(c-di)]
=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2-d^2i^2)=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)把(ac+bd)看成a向量乘以b向量，c^2+d^2看成b向量的模(ac+bd)/(c^2+d^2)=1 就是 a*b/（b模）但a模我也不會。。。。(bc-ad)/(c^2+d^2)=√3不會用。。。。。不過應該是結合平面向量的a*b/(a模*b模）=cos∠aob
3樓：匿名使用者
一、基本知識點——
複數的輻角：以x軸的正半軸為始邊，向量所在射線(起
點是o點)為終邊的角θ叫做複數z=a+bi的輻角。
不等於零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值，這些值相差2π
的整數倍。適合[0，2π]的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記
作argz，即0≤argz＜2π。
當a∈r+時，有下列關係：
arga=0
arg(-a)=π
arg(ai)=
arg(-ai)=π
複數相等的充要條件：每乙個不等於零的複數有唯一的模與輻
角的主值。並且可由他的模與輻角的主值唯一確定。因此兩個非零
複數相等當且僅當他們的模與輻角的主值分別相等。
複數的三角形式：任何乙個複數z=a+bi都可以表示為r(cosθ
+isinθ)的形式，其中r=cosθ=,sinθ=,r(cosθ+isinθ)
叫做複數a+bi的三角形式，為了同三角形式區別開來，將a+bi叫做
複數的代數形式。
複數三角形式的乘法：兩個複數相乘，積的模等於各複數的
模的積；積的輻角等於各複數的輻角的和，有如下公式：
若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)
那麼z1*z2=r1(cosθ1+isinθ1)*r2(cosθ2+isinθ2)
=r1*r2*[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
複數乘法的幾何意義：兩個複數z1，z2相乘時，可以先畫出分別
與z1，z2對應的向量，，然後把向量按逆時針方向旋轉乙個
角θ2(如果θ2＜0,就要把按順時針方向旋轉乙個｜θ2｜)，再把它
的模變為原來的r2倍，所得的向量，就表示積z1*z2。
棣莫佛定理：複數z的n次冪(n∈n)的模等於這個複數的模的n次
冪，它的輻角等於這個複數的輻角的n倍有公式：
若z=r(cosθ+isinθ)
zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈n)
複數三角形式的除法：兩個複數相等，商的模等於被除數的模
除以除數的模所得的商，商的輻角等於被除數的輻角減去除數的輻
角所得的差，有公式：
若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2。)
=[cos(θ1-θ2)+sin(θ1-θ2)]
複數三角形式的開方：複數的n次方根(n∈n)是n個複數，它們
的模都等於這個複數的模的n次方根，它們的輻角與2π的0，1，2，
…(n-1)倍的和的n分之一。
複數r(cosθ+isinθ)的n次方根為：
(cos+isin)k=0，1，…(n-1)
負實數的平方根：若a∈r+，則-a的平方根為±i。
實數係數一元二次方程虛根成對定理：實數係數一元二次
方程ax2+bx+c=0在複數集c中有兩個根：x=，
(b2-4ac＜0)顯然它們是一對共軛複數。這說明實係數一元二
次方程若有乙個虛數根，那麼這個虛數的共軛複數必為另一根。
二項方程：形如anxn+a0=0(a0，an∈c且an≠0)的方程叫做
二項方程。任何乙個二項方程都可以化成xn=b(b∈c)的形式，
因此都可以通過複數開方來求根。
一般地，方程xn=b(b∈c)的根的幾何意義是復平面內的n個
點，這些點均勻的分布在以原點為圓心，以為半徑的圓上。
二、重點與難點——
本專題的重點是複數的三角形式，它將高中的三角變換知識
與複數的有關概念緊密地連在一起，產生許多重要的變換，特別
是圍繞著複數的輻角的有關概念與運算及複數的應用，成為本專
題的難點所在。在學習時不斷地總結體會與經驗是學好這一專題
的關鍵。
三、例題詳解——
例1：選擇題(每題僅乙個正確答案)
(1)若α=π，θ=arccos(cosα)，則複數z=cosθ+isinθ
的輻角主值是( )
a、π b、π
c、 d、π
(2)若複數z=1-cosx+isinx(π＜x＜2π)，則z的輻角主值為( )
a、- b、
c、π- d、π+
解：(1)∵0≤θ＜2π 排除b。
θ=arccos(cosα)=α 0＜α＜π
∴θ=arccos[cos(2π-π)]=π
z=cosπ+isinπ 選a
(2)先將z化為複數的三角形式：
z=1-cosx+isinx=2sin2+i*2sin*cos
=2sin(sin+icos)
=2sin[cos(-)+isin(-)]
=2sin[cos(2π+-)+isin(2π+-)]
=2sin[cos(π-)+isin(π-)]
此時2sin＞0，π-∈[0，2π]
∴選c。
例2：填空題：
(1)1+i的平方根是=______；
(2)若z=cos+isin，則1+z+z7+z13+z19等於______；
(3)若a=｜＋i｜，z=a+i，則z5=______；
(4)z=a- i(a∈r)對應的點都在單位圓內(不包括單位圓
的邊界)，則實數a的取值範圍是______；
(5)已知z1，z2是兩個不等於零的複數，它們在復平面上
對應的點分別為a，b，且z1，z2滿足關係式4z12-2z1*z2+z22=0，
則△aob的形狀是______。
解：(1)將1+i化為三角形式：
r==2，tgθ==，θ=，
1+i=2(cos+isin)，它的平方根：
(cos+isin)(k=0，1)
∴平方根為(cos+isin)=+i，
(cosπ+isinπ)=--i；
(2)∵z19=(cos+isin)19
∴z19=cos-isin
z13=cosπ+isinπ=cosπ+isinπ=-cosπ+isinπ
z7=cosπ+isinπ=-cosπ-isinπ
原式=1+cos+isin-cosπ-isinπ-cosπ+isinπ+cos-isin
=1+2cos-2cosπ；
(3)∵a=｜+i｜==
z=a+i=+i=2(cos+isin)
z5=[2(cos+isin)]5
=32(cosπ+isinπ)
=32(-cos+isin)
=-+i
=-16+16i；
(4)∵｜z｜＜1即有｜a- i｜＜1
＜1，0＜a2+＜1，a2＜
∴-＜a＜
(5)由4z12-2z1*z2+z22=0可得：
(z1-z2)2=-3z12=(z1*i)2
z1-z2=±z1i
(1i)z1=z2，
2z1(cos+isin)=z2或2z1[cos(-）+isin(-)]=z2，
由此可以看出2｜z1｜=｜z2｜，z1對應的向量逆時針或順
時針旋轉可得到z2所對應的向量，且2｜oa｜=｜ob｜，
∴△aob是直角三角形。
例3：求複數z=(0＜θ＜)
的模與輻角，並求當θ=時，zn∈r的最小自然數n的值。
解：z===
=-sinθ+icosθ
=cos(+θ)isin(+θ)
∴｜z｜=1，argz=+θ(0＜θ＜)
當θ=時
zn=cosn(+)+isinn(+)
zn=cosπ+isinπ
若使zn∈r，則必有sinπ=0
但26，15互質，∴n=26時，sin15π=0
此時zn=cos15π=-1∈r，
∴滿足題設條件的最小自然數n=26。
例4：設z1，z2∈c，且｜z1｜=1，｜z2｜=，｜z1-z2｜=2。
求：。解：設：z1=cosα+isinα，z2=(cosβ+isinβ)，
∵｜z1-z2｜=2
∴｜(cosα-cosβ)+(sinα-sinβ)i｜=2
即(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=4
cos2α-2cosαcosβ+2cos2β+sin2α-2sinαsinβ+2sin2β=4
3- 2cos(α-β)=4，
∴cos(α-β)=-
∴sin(α-β)=±=±，
∴==[cos(α-β)isin(α-β)]
=[-±i]
∴=-±i。
例5：設為純虛數，試問當z變動時它所對應的點的軌跡
是什麼?
解：設=t*i(t∈r)，
則z=zti-ti
z=，設z=x+yi(x，y∈r)，
則有：x+yi=，
①2+②2：x2+y2==x
∴x2-x+y2=0，即z點的軌跡為(x-)2+y2=，這是
以(，0)為圓心，為半徑的圓。
四、練習題——
1.選擇題：(每題僅有乙個正確答案)
(1)若z1=cos150°+isin150°，z2=cos300°+isin300°，
則z1+z2的輻角主值( )
a、45° b、150° c、450° d、225°
(2)計算(1-i)6+(1-i)12的值是( )
a、27 b、-27 c、0 d、1
(3)把複數1+i對應的向量按順時針方向旋轉π，所得到的
向量對應的複數( )
a、 b、
c、 d、
(4)若z*+z-=3，則複數z所表示的點集為( )
a、圓 b、直線
c、兩點 d、圓與實軸
(5)若z=a+bi(a，b∈r)，r=，θ=argz，點z在第四象限，
則有( )
a、θ=arcsin b、θ=arccos
c、θ=arctg d、θ=2π+arctg
2.填空題：
(1)3+4i的平方根是______。
(2)設｜z+1｜=｜z-1｜且arg=，則複數z=______。
(3)計算=______。
(4)將z=sin30°-icos30°所對應的向量順時針方向旋轉120°，
所得向量對應的複數是______。
(5)設5+6i的輻角主值是θ，那麼12-10i的輻角主值是______(用θ表示)。
(6)若x∈c，則方程x2+ix+i-1=0的解是_____。
(7)方程z3=在複數集上的解集是______。
3.解答題：
(1)求值 (n∈n)
(2)z=，
求：複數z的模。
(3)求s=1+2i+3i2+4i3+…+(4n+1)i4n。
(4)若z∈c且z2=8+6i，
求：z3-16z-的值。
(5)求值為實數的n的最小正整數值，此時實數值
是多少?
(6)設t=cosπ+isinπ，求：t+的值。另，若cosπ+isinπ
是x5-1=0的乙個根，求：cosπ與cosπ的值。
(7)若z∈c，且｜z｜=1
求：｜z++i｜取得最大值時z的值。
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