1樓：匿名使用者
我覺得是n+1
舉個例子吧 讓這個向量空間就等於r5，也就是n等於5，在實數範圍的情況。
span和span和(0.....1)這五個的單獨，注意是任意乙個標準基的單獨span，都是同構於r1的。比如取span，(2,0,0,0,0)到2就是雙射，且(a,0,0,0,0)+(b,0,0,0,0)同構a+b
你取上面5個標準基的任意兩個，他們都是線性不相關的。因此對於任意n和m不相等，且小於等於5都是同構的，因為他們都是2維。他們都同構與r2。
比如：(2,3,0,0,0)=(2,0,0,0,0)+(0,3,0,0,0)=2e1+3e2對應(2,3)屬於r2。
類似往下推。對於5維的子空間，r5就等於span。由於子空間不可能大於維數n，又考慮同構，證畢。
比如(1,2,0,0,0)的span也是同構r1的，任意在這個span的向量(a,2a,0,0,0)對應r1中的a。因此考慮完同構的話證畢了。因此任取m個線性不相關的r5的元素，他們的span就是維數為m的子空間，同構與rm。
再加上乙個0空間（null），也就是(0,0,0,0,0)的span，一共有5+1=6個。
對於n的話大同小異 證法差不多 取標準基就好
2樓：海上
解：分為n類；
即維數分別為1,2，……，n。
線性代數問題：數域p上任意兩個n維線性空間都同構。為什麼？
3樓：世紀星
任取數域p上任意兩個n維線性空間v1，v2。
取v1上的一組基a1，a2，···，an；取v2上的一組基b1，b2，···，bn.
則任意向量a屬於v1有a=k1a1 + k2a2 + ··· +knan；
構造對映f: v1--->v2，f(a) = k1b1 + k2b2 + ··· +knbn. 那麼就有f(ai) = bi (i = 1，2，···，n)
下證f是雙射：
<1>先證f是單射，
設存在b，b'屬於v2，使得f(a) = b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn ，
f(a) = b' = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn ,
則由b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn = b'
移項整理得(s1-t1)b1 + (s2-t2)b2 + ··· +(sn-tn)bn = 0，
由於b1，b2，···，bn是一組基，必有si=ti (i = 1,2,···,n)
從而b=b'，
歸結為一句話「任意向量a屬於v1，v2中有且僅有乙個向量b使得f(a) = b」
因此f是單射
<2>再證f是滿射，
取任意向量b屬於v2並設b=s1b1 + s2b2 + ··· +snbn，
顯然存在a屬於v1，且a=s1a1 + s2a2 + ··· +snan，使得 b=f(a) = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn，
歸結為一句話「任意向量b屬於v2，在v1中都存在乙個向量a使得f(a) = b」
因此f是滿射
<3>由<1><2>得，f是雙射，下證f是同構對映，
任意t屬於數域p，ta=tk1a1 + tk2a2 + ··· +tknan,
於是 f(ta) = tk1b1 + tk2b2 + ··· +tknbn = t(k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) = tf(a)
另外，任意向量a『=s1a1 + s2a2 + ··· +snan 屬於v1，
顯然f(a+a』) = (k1+s1)b1 + (k2+s2)b2 + ··· +(kn+sn)bn
= (k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) + (s1b1 + s2b2 + ··· +snbn)
= f(a) + f(a')
因此 f是同構對映。
綜上可知，數域p上任意兩個n維線性空間v1，v2之間都存在同構對映
再由線性空間同構的定義「若兩線性空間之間存在同構對映，則這倆個線性空間同構」，
所以數域p上任意兩個n維線性空間都同構！證畢！
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