1樓：你愛我媽呀
設三角形頂點座標a(x0,y0)，b(x1,y1)，c(x2,y2)。
平面上任意點p(x,y)。則p於三頂點距離平方和為
s＝(x-x0)^2+(y-y0)^2+(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2
=[(x-x0)^2+(x-x1)^2+(x-x2)^2]
+[(y-y0)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2]
=[3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2]
+[3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2]
注意到中括號中的內容為平方和恆大於0。
因此當兩個中括號中的內容都取得最小值時，s才能取得最小值。
3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2是以x為自變數的拋物線，二次項係數大於0，開口向上，根據拋物線的性質，當
x=-b/(2a)
=2(x0+x1+x2)/(2*3)
=(x0+x1+x2)/3
時，3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2取得最小值。
同理y=(y0+y1+y2)/3時，3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2取得最小值。
可以通過重心的定義得出，上面的p點就是三角形的重心。
2樓：
取三角形三邊中點做任意一點p，連線三點，用向量算到三邊距離平方的二倍，利用中點可以削掉一些然後就剩下p到三個中點距離平方的二倍和關於三角形邊乙個常量了，然後以此類推最後取無限次中點，最後後這個點與三角形重心重合。
平面上的點到三角形的三個頂點的距離的平方和最小的是三角形的什麼心？為什麼？
3樓：匿名使用者
重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。
重心的幾條性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
三角形重心的性質，三角形的重心是什麼，求畫圖，有什麼性質
1 重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。2 重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。3 在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為 x1 x2 x3 3，y1 y2 y3 3 空間直角座標系橫座標 x1 x2 x3 3縱座標 y1 y2 y3 3豎座標 z1 z2 z3 ...
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