1樓：匿名使用者
2樓：匿名使用者
樓上給的**都是講尤拉常數是否是無理數,和問題沒關係呀.
我倒是有乙個想法,不知可以不.
首先有這樣一種證明命題的方法(忘了叫什麼名字了),就是先令n=1,帶入計算,成立.然後假設n=k,成立,證明n=k+1也成立即可.
我的思路是這樣的,先令n=1,帶入1-ln(1)=1,不是無窮數,所以成立.
然後假設n=k時成立,即1+1/2+1/3+...+1/k-ln(k),成立,然後嘗試證明1+1/2+1/3+...1/k+1/(k+1)-ln(k+1),成立.
也就是證明l=lim[1+1/2+1/3+...1/k+1/(k+1)-ln(k+1)],其中l是乙個非無窮數,我們可以用單純求極限的方法來嘗試,首先前邊一部分"1+1/2+...1/k+1"是乙個harmonic series(因為我學的是英文的高等代數,所以不知道中文怎麼翻譯,不好意思),他的極限是正無窮,而後邊的ln(k+1)的極限也是正無窮,也就是∞-∞,所以可以用乙個法則(不知道中文叫什麼,如果音義的話,可能是"老位元法則")把兩個部分微分,一部分得"[1+1/2+1/3+...
1/k+1/(k+1)]的導數,另一部分得1/(k+1),極限是零,所以l=lim(第一部分的導數).
現在使用假設的部分l=lim[1+1/2+1/3+...1/k-lnk]成立,的條件.他成立,用上邊的方法得出,1+1/2+1/3+...
1/k的導數的極限是乙個非無窮數.所以回來,就是求"第一部分的導數=1+1/2+1/3+...1/k的導數 + 1/(k+1)的導數,整個的極限".
其中1/(k+1)的導數是零,所以第一部分的導數的極限也是乙個非無窮數,即l是非無窮數,即當n=k+1時,命題成立.
所以總命題成立.
這只是我的乙個想法,也許不對,但是希望能有所幫助.
多謝華文指導.
艾?是嗎?我記得∞-∞也可以呀,可能是我記錯了吧.
那如果取e的ln(1+1/2+1/3+...1/k-lnk)次方,然後變成ln(前邊)/ln(後邊)應該可以用吧,也許結果可以一樣.
3樓：匿名使用者
呵呵樓上的說的用洛比打法則到底能不能做，我不知道，我覺得可能有點麻煩的，畢竟洛必達法則的條件要求導函式之比極限存在的。我沒去想那個。
樓主我不知道你怎麼證明的這個數列單調增加！我記得我證明的時候是先證明單調遞減，再證明有下界0！
這個也可以用積分中值定理證，或者構造乙個級數來證明，我個人覺得構造級數最簡單。
大概是這樣v(n)=a(n)-a(n-1)=1/n+ln(1-1/n)=
1/n+[-1/n-1/2n^2+o(1/n^2)]=-1/2n^2+o(1/n^2)
級數v收斂所以它的部分和a收斂。
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