1樓:庸詘皇
有時候在幾何題和解析幾何的證明和運算上很有技巧
在生活中向量也有一些具體表現形式,有關的問題也可以充分利用向量求解.應用問題的解決主要是建立數學模型.用向量、三角、解析幾何之間的特殊關係,將生活與數學知識之間進行溝通,使動靜轉換充實到解題過程之中.
一、平面向量在位移與速度上的應用
例1 以某市人民廣場的中心為原點建立直角座標系,x軸指向東,y軸指向北乙個單位表示實際路程100公尺,一人步行從廣場入口處a(2,0)出發,始終沿乙個方向均速前進,6分鐘時路過少年宮c,10分鐘後到達科技館b(-3,5).
求:此人的位移向量(說明此人位移的距離和方向);
此人行走的速度向量(用座標表示);
少年宮c點相對於廣場中心所處的位置.
(下列資料供選用:tan18°24=0.3327,tan18°26= 13 ,tan2=0.0006)
分析: (1)ab的座標等於它終點的座標減去起點的座標,代入a,b座標可求;(2)習慣上單位取百公尺/小時,故需先將時間換成小時.而速度等於位移除以時間,由三角知識可求出座標表示的速度向量.
(3)通過向量的座標運算及三角函式公式求解.
(1) ab=(-3,5)-(2,0)=(-5,5),
|ab|=(-5)2+52=52,∠xob=135°
∴此人的位移為「西北52百公尺」.
(2)t=10分= 16 小時,|v|= |ab|t =302
∴vx=|v|cos135°=-30,vy=|v|sin135°=30,∴v=(-30,30)
(3)∵ac= 610 ab,∴oc=oa+ 35 ab=(2,0)+ 35 (-5,5)=(-1,3)
∴|oc|=10,又tan(18°24+2)= 0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 = 13
而tan∠coy= 13 ,∴∠coy=arctan 13 =18°26.
∴少年宮c點相對於廣場中心所處的位置為「北偏西18°26,10百公尺」處.
評注:以生活中的位移、速度為背景的向量應用題,首先要寫出有關向量,利用向量中的模來求解.本題是向量知識與三角知識的交匯,主要是依託平面向量的模、方位角等通過形和數的相互轉化,實現與三角的有機整合,同時考查三角方面的知識和方法及綜合解題能力.
二、平面向量在力的平衡上的應用
例2 帆船是借助風帆推動船隻在規定距離內競速的一項水上運動.2023年第2屆奧運會開始列為正式比賽專案, 帆船的最大動力**是"伯努利效應".如果一帆船所受"伯努利效應"產生力的效果可使船向北偏東30o以速度20 km/h行駛,而此時水的流向是正東,流速為20 km/h.若不考慮其它因素,求帆船的速度與方向.
分析: 帆船水中行駛,受到兩個速度影響: 伯努利效應"產生力的效果為使船向北偏東30o,速度是20 km/h,及水的流向是正東,流速為20 km/h.
這兩個速度的和就為帆船行駛的速度.根據題意,建立數學模型,運用向量的座標運算來解決問題.
解:如圖建立直角座標系, "伯努利效應"的速度為v1=20 km/h,水的流速為v2=20 km/h,帆船行駛的速度為v,則v=v1+v2.
由題意可得向量v1的座標為(20cos60o,20sin60o)即v1=(10,10 ),向量v2的座標為v2=(20,0)
則帆船行駛速度v的座標為
v=v1+v2=(10,10 )+(20,0)=(30,10 )
∴|v|= ,∵tanα= ,α為銳角∴α=30o
∴帆船向北偏東行駛.
答: 帆船向北偏東60o行駛,速度為203 km/h.
評注: 在利用向量的座標運算解決生活中有關問題時,先根據情況建立向量模型,利用直角座標系,得到向量的座標,再按照向量座標運算法則,得出答案,解決實際問題.
三、平面向量的數量積在生活中的應用
例3 某同學購買了x支a型筆,y支b型筆,a型筆的**為m元,b型筆的**為n元.把購買a、b型筆的數量x、y構成數量向量a=(x,y),把**m、n構成**向量b=(m,n).則向量a與b的數量積表示的意義是_______________.
解析: 此題根據購賣a、b兩種型號的筆的數量與**構成了乙個二元向量a,b.根據向量的數量積的運算公式可得a•b=xm+yn.
而xm表示購買a型筆所用的錢數;yn表示購買b型筆所用的錢數.所以向量a與b的數量積表示的意義是購買兩種筆所用的總錢數.
評注: 本題把生活中的平常事件轉化為了向量問題,運用向量的數量積一下子解決了購買所用的總錢數.利用這種方法,我們還可以推廣到多種商品,構建多元向量,就可以有序快捷得到購買時所用的總錢數.
同學們可以試一試.
向量在生活中的應用,大多是和座標平面的整合,這時關鍵是確定點的座標,再確定向量的座標.從而達到向量關係與座標關係的互譯,架起了生活與向量之間的橋梁.把向量的基本思想應用到實際生活中,可使我們能夠更加直觀地通過向量視角觀察生活,也讓向量更好地為我們服務,解決更多的實際生活問題
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