1樓：善良的杜娟
0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n，所以收斂。
至於∑1/n.考慮函式ln(1+x) - x，其導數為1/(1+x) -1。
當x恆大於0時，導數恆小於0，當x=0時，ln(1+x)-x =0，
當x>0時，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。
1/n > ln(n+1)-ln(n)，所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很顯然不收斂。
1/(n*n)收斂的原因：
可以用1/x*x的積分放大估計，也可以用按2的k次方集項估計：
第一項等於1，第二第三項之和小於1/2(小於兩個1/2的平方，第4項到第7項之和小於1/4(四個1/4平方之和），第8項到第15項之和小於1/8(八個1/8平方之和.）
總之，小於收斂的公比為1/2的等比級數，所以收斂。
擴充套件資料
判斷級數收斂或者發散的方法：
1、比較判別法
簡而言之，小於收斂正項級數的必然收斂，大於發散正向級數的必然發散。當然其中可以存在倍數關係，可以將乙個級數放大或縮小再進行比較。若用極限形式，就是二者的比值的極限值是乙個有限的正數即可。
2、柯西判別法
從某一項往後，那一項的n分之一次方大於等於1，那麼這個級數發散，若那一項的n分之一次方小於1，但是不能無線接近於1，則級數收斂。極限形式就是正項級數的n分之一次方的上極限小於1，收斂，大於1則發散，等於1需要進一步判斷。
3、達朗貝爾判別法
從某一項開始，這一項和前一項的比值大於等於1，則級數發散；若這一項和前一項的比值小於1且不會無限接近於1，則級數收斂。極限形式就是這個比值的上極限小於1，級數收斂；這個比值的下極限大於1，級數發散。
2樓：是你找到了我
證明如下：
因此該級數發散。
3樓：1蔣2昌傑
如果直接利用p級數的話，1/n∧p p≤1時發散 p＞1時收斂1/n是調和級數
利用定積分的幾何意義來做
陰影部分面積表示它的部分和sn ∫1/xdx求得的是∞ 即沒有極限，那麼根據定義，發散的
來看1/n∧2
求它的和 利用定積分求得極限sn=1
即收斂於1
如果有書本的話直接看p級數斂散性證明過程就明白了
4樓：秋風
計算一下取平面上的點使得兩個座標互素的可能性.記為p,那麼座標最大公約數是2的可能性是4p.同理有9p.
加起來,用全概率是1,知道1/p=n平方分之一的級數和.因為p不為0所以收斂.
若在直線上去.就化為直線上取1,-1的概率.顯然p=0,所以級數發散。
∑1/n^p稱為p級數,當且僅當p>1的時候收斂p級數是判定一些長相古怪的級數是否收斂的基準,就是我們常說的大o判別法,這主要是直觀感受,很多數時候不能用作證明。
5樓：裡輔助綠
利用函式的面積進行理解，求兩個函式從一到無窮大與x軸圍成的面積，發現乙個可求，乙個不可求，就可得乙個發散，乙個收斂
為什麼級數n分之1發散
6樓：是你找到了我
證明如下：
因此該級數發散。
擴充套件資料：
反證法：
假設調和級數收斂 , 則：
但與版矛盾，故假設不真權，即調和級數發散。
中世紀後期的數學家ore**e在2023年就證明了這個級數是發散的。他的方法很簡單：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意後乙個級數每一項對應的分數都小於調和級數中每一項，而且後面級數的括號中的數值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以後乙個級數是趨向無窮大的，進而調和級數也是發散的。
從更廣泛的意義上講，如果an是全部不為0的等差數列，則1/an就稱為調和數列，求和所得即為調和級數，易得，所有調和級數都是發散於無窮的。
7樓：知導者
可以構造定積分抄來證明：
如上圖bai所示，曲線是函式y=1/x的圖象。那麼從左往右，第dun個矩形的zhi面積為1/n，包圍這個小矩形的曲邊梯形的面積為
根據面積大小關係得到：
（當然也可以通過函式的dao單調性來嚴格證明）因此所以這個級數是發散的。
級數1n21斂散性,級數1n2的斂散性怎麼證明
可以先用比較審斂法的極限性質,將其化成1 n 2,再根據p 級數的性質得到其收斂。1 n 2 1 1 n 2顯然是收斂的 級數1 n 2的斂散性怎麼證明 1 證明方法一 un 1 n2是個正項級數,從第二項開始1 n2 1 n 1 n 1 n 1 1 n所以這個級數是收斂的。2 證明方法二 lim ...
級數n的32次方是收斂還是發散
n只要小於 1,就是收抄斂的。你可以去看看當bain 1這種特殊的級數 設函式duf x x 1 2 x2 1 3 x3.1 n xn xn是x的n次方 求導 1 x x2.x n 1 再算zhi和,算出來dao積回去,你就清楚了 你還是好好看看級數那章的求和 級數n的一次冪的和是n,是發散的,當冪...
判斷級數n12n1n2的斂散性。求解,急
首先來看看bai用比較判別法判斷級du數發散的zhi方法,對於u和v兩個正項級dao數來說,如果n從某內一項開始都有容u v,且級數u是發散的,那麼v也是發散的。我們尋找乙個級數,1 4n 顯然對於n 1及以後的項 也即n 1,2,3.來說,都有1 4n 1 2n 1 而且我們知道,1 4n 1 4...