1樓：
證明：令x=π-t,則x由0到π,t由π到0,dx=-dt
原式記為i
則i=-（積分區間π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt=-(積分區間π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt=(積分區間0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt=(積分區間0到π）∫πf(sin(t)dt-i所以2i=(積分區間0到π）∫πf(sin(t)dt即i=（π/2)∫f(sint)dt=(π/2)∫f(sinx)dx可導，即設y=f(x)是乙個單變數函式， 如果y在x=x0處左右導數分別存在且相等，則稱y在x=x[0]處可導。如果乙個函式在x0處可導，那麼它一定在x0處是連續函式。
函式可導的條件：
如果乙個函式的定義域為全體實數，即函式在其上都有定義。函式在定義域中一點可導需要一定的條件：函式在該點的左右導數存在且相等，不能證明這點導數存在。
只有左右導數存在且相等，並且在該點連續，才能證明該點可導。
可導的函式一定連續；連續的函式不一定可導，不連續的函式一定不可導。
2樓：匿名使用者
cosx不可以換成根號(1-sin方），因為在這個區間內，cosx不恆正
3樓：茹翊神諭者
不可以，sinx在[0,π]上非負
cos=±√1-sinx，完全是不同的函式
如何證明∫[0,π]xf(sinx)dx=π∫[0,π/2]f(sinx)dx
4樓：假面
如圖所示：
如果上限x在區間[a,b]上任意變動，則對於每乙個取定的x值，定積分有乙個對應值，所以它在[a,b]上定義了乙個函式，這就是積分變限函式。
5樓：匿名使用者
計算∫[π/2,π]xf(sinx)dx
令x=π-t 得
∫[π/2,π]xf(sinx)dx
=∫[π/2,0] (π-t)f(sin(π-t))d(π-t)=∫[0,π/2] (π-t)f(sint)dt=π∫[0,π/2] f(sint)dt-∫[0,π/2]t f(sint)dt∫[0,π]xf(sinx)dx
=∫[0,π/2]t f(sint)dt+∫[π/2,π]xf(sinx)dx
=π∫[0,π/2]f(sint)dt
6樓：匿名使用者
滿意請採納
設f(x)連續，（積分區間為0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx
7樓：數學劉哥
這個問題可以考慮三角函式對稱性
其中sinx關於x＝0.5π是對稱的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函式保持不變而cosx沒有這個性質，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，與f(cosx)的關係要考慮函式f(x)的奇偶性，題目沒有要求的話得不出簡化的結論。
所以，由於cosx關於x＝0對稱，應該有cosx＝cos(-x)原問題用cosx表示的形式應該是，設f(x)連續，（積分區間為-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原問題一模一樣的推導過程推出這個結論，也可以用函式奇偶性得出
8樓：
小技巧: 0到π上的積分，f(sinx) = f(cosx)
9樓：匿名使用者
可以，因為sinxcosx含有等式關係
根據公式(積分區間為0到π)∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx，為什麼算不出來?
10樓：姒華性元英
f(sinx)不能表示出
sin2x
sin2x=2sinx*cosx
積分後，sin2x=2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5和-2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5積分區間[0,pi]
內，被分為兩個區間,2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5在[0,pi/2]
-2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5在[pi/2,pi]已不滿足(積分區間為0到π)∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx的分條件，
定積分問題（∫[0,π]xf(sinx)dx=π∫[0,π/2]f(sinx)dx的應用）（具體問題見**
11樓：丘冷萱
你給的這兩個函式不能用這個公式，注意公式中是f(sinx)而你給的sin(2x)並不是f(sinx)因為：sin2x=2sinxcosx，這裡面的cosx要想化為sinx，需要討論符號（因為在0→π內cosx有正有負），這樣需要將積分區間拆為0→π/2和π/2→π，這樣也就不是0→π了。
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定積分中∫（0，π）f（sinx）為什麼等於2∫（0，π/2）f（sinx）
12樓：茹翊神諭者
和關於什麼對稱無關
把積分求出來即可，詳情如圖所示
13樓：和與忍
∫(0, π)f(sinx)dx＝∫(0, π/2)f(sinx)dx＋∫(π/2, π)f(sinx)dx.對於第二個積分，令x＝π-t, 則∫(π/2, π)f(sinx)dx＝∫(π/2, 0)f(sint)(-dt)＝∫(0, π/2)f(sint)dt＝∫(0, π/2)f(sinx)dx.所以∫(0, π)f(sinx)dx＝2∫(0, π/2)f(sinx)dx.
1.設f(x)在區間[0,1]上連續，證明： ∫ 0到派 xf(sinx)dx=派∫0到派/2 f（sinx)dx 5
14樓：哆嗒數學網
題抄錯了。
樓上的最後一步也是錯的
等號右邊f裡面，應該是cosx
見參考資料
15樓：匿名使用者
證明：令t=π-x,則x∈[0,π]時, t∈[π, 0] dx=-dt
則i=∫(0→π) xf(sinx) dx=-∫(π→0) (π-t)f(sin(π-t)) dt=-∫(π→0) (π-t)f(sint) dt=∫(0→π)(π-t)f(sint) dt=∫(0→π)πf(sint) dt-∫(0→π)tf(sint)dt
=∫(0→π)πf(sinx) dx-i
∴i=(1/2)∫(0→π)πf(sinx) dx=π∫(0→π/2)f(sinx) dx證畢
根據公式（積分區間為0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx，為什麼算不出來？
16樓：華哥
f(sinx)不能表示出 sin2x sin2x=2sinx*cosx 積分後，sin2x=2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5 和
-2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5 積分區間[0,pi] 內， 被分為兩個區間,2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5在[0,pi/2]
-2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5在[pi/2,pi] 已不滿足（積分區間為0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx的分條件，
設f x 在區間上連續，且f x 0,證明f x 在上的導數乘1上的導數b a 的平方
你的題錯了，不是導數，是積分吧？給你乙個二重積分的做法，如果沒學過二重積分，請追問，我再給你乙個定積分做法。左邊 a b f x dx a b 1 f x dx 定積分可隨便換積分變數 a b f x dx a b 1 f y dy d f x f y dxdy 其中 d為a x b，a y b 該...
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