1樓：仇曜燦偶實
柯西不等式是由柯西(cauchy)在研究數學分析中的「流數」問題時得到的。
一般形式: (∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2 等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。
向量形式: |α||
β|≥|α·
β|，α=(a1,a2,…,an)，
β=(b1,b2,…,bn)（n∈n，n≥2） 等號成立條件：
β為零向量，或α=λ
β（λ∈r）。
2樓：鄲睿哲化童
用向量來證.
m=(a1,a2......an)
n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式的簡便證明方法？？
3樓：鄭睿智
柯西不等式可以簡單地記做：平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。
如：兩列數
0，1和 2，3
有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比較簡單的證明方法就是構造乙個輔助函式，這個輔助函式是二次函式，於是用二次函式取值條件就得到cauchy不等式。
還有一種形式比較麻煩的，但確實很容易想到的證法，就是完全把cauchy不等式右邊-左邊的式子，化成一組平方和的形式。
我這裡只給出前一種證法。
cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有
δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
學了更多的數學以後就知道，這個不等式可以推廣到一般的內積空間中，那時證明的書寫會更簡潔一些。我們現在的證明只是其中的乙個特例罷了。
求柯西不等式的最巧妙的證明方法
4樓：水青雲倩
^^設自a1b1+a2b2+...+anbn=ab 欲證（a1^bai2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...
+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
即證[（a1^2+a2^2+...+an^2)/ab][(b1^2+b2^2+...+bn^2)/ab]>=1
由基本du
不等式zhi得ai^2/ab+bi^2/ab>=aibi/ab疊加dao易得原不等式成立
5樓：匿名使用者
^貌似是用判別式法最簡單了：
設乙個函式
f(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2（
專a1b1+a2b2+...+anbn）x+(b1^2+...+bn^2)
那麼f(x)=(a1^2x^2-2a1b1x+b1^2)+...+(an^2x^2-2anbnx+bn^2)
=(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2>=0
而f(x)是乙個屬一元二次方程函式，那麼方程f(x)=0的判別式△<=0
即（2（a1b1+a2b2+...+anbn））^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)<=0
化簡後得：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)>=（a1b1+a2b2+...+anbn）^2 即柯西不等式
等號條件△=0，(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2=0
x=b1/a1=b2/a2=...=bn/an 即an與bn互相成比例
這樣就證明完畢了
6樓：匿名使用者
柯西不等抄式可以簡單地記做：平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。
如：兩列數
0，1和 2，3
有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
7樓：零下負5度小
兩邊相減，再抓對湊成完全平方式！因為多個平方的和是一定非負的！所以，就有》=號成立了... ...
柯西不等式的證明 20
8樓：匿名使用者
cauchy不等式的形式化寫法就是：
記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
還可以用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種方法證，這裡只寫出兩種較常用的證法．
如何證明三維形式的柯西不等式啊
9樓：匿名使用者
三維的是： (a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2 <= (a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2）柯西不等式可以用向量來證明
柯西不等式的一般證法有以下幾種：■①cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。
■②用向量來證. m=(a1,a2....an) n=(b1,b2....
bn) mn=a1b1+a2b2+....+anbn=(a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....
+bn^)^1/2乘以cosx． 因為cosx小於等於0，所以：a1b1+a2b2+....+anbn小於等於a1^+a2^+....
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2 這就證明了不等式．柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法．
柯西不等式的簡便證明方法求柯西不等式的最巧妙的證明方法
證明 二維形式的證明 a 2 b 2 c 2 d 2 a,b,c,d r a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 b 2 c 2 a 2 c 2 2abcd b 2 d 2 a 2 d 2 2abcd b 2 c 2 ac bd 2 ad bc 2 ac bd 2,等號在且僅在ad bc 0...
求柯西不等式的最巧妙的證明方法，柯西不等式的幾種證明方法
設自a1b1 a2b2 anbn ab 欲證 a1 bai2 a2 2 an 2 b1 2 b2 2 bn 2 a1b1 a2b2 anbn 2 即證 a1 2 a2 2 an 2 ab b1 2 b2 2 bn 2 ab 1 由基本du 不等式zhi得ai 2 ab bi 2 ab aibi ab...
3道 柯西不等式 和 平均不等式 的
1.數形結合。y 2 2ax 0 拋物線右邊。x 2 y 2 2ax 0 圓外面。注意到圓和拋物線 相切 其實只用說明只有乙個交點即可。所以答案為 拋物線出去圓。注意下邊界不要出錯 2。即考慮 x y 2 z 2 y x 2 z 2 z y 2 x 2 根號 x 2 y 2 z 2 的最小值。由於是...