1樓：匿名使用者
{ z = 3、在上方
{ 2z = x² + y²、在下方
柱座標(投影法)：2z = x² + y² --> 2z = r²、x² + y² = 2(3) = 6 --> r² = 6 --> 0 ≤ r ≤ √6
∫∫∫(g) (x² + y²) dv
= ∫∫(dxy) dxdy ∫(r²/2~3) r² dz
= ∫(0~2π) dθ ∫(0~√6) r dr ∫(r²/2~3) r² dz
= 2π • ∫(0~√6) r³ • (3 - r²/2) dr
= π • ∫(0~√6) (6r³ - r⁵) dr
= π • [ (6/4)r⁴ - (1/6)r⁶ ] |(0~√6)
= π • [ (3/2)(√6)⁴ - (1/6)(√6)⁶ ]
= 18π
柱座標(切片法)：x² + y² = 2z --> x² + y² = (√2√z)² --> 0 ≤ r ≤ √(2z)
∫∫∫(g) (x² + y²) dv
= ∫(0~3) dz ∫∫(dz) (x² + y²) dxdy
= ∫(0~3) dz ∫(0~2π) dθ ∫(0~√(2z)) r² • r dr
= ∫(0~3) dz • 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0~√(2z))
= (π/2)∫(0~3) 4z² dz
= 2π • (1/3)[ z³ ] |(0~3)
= 2π • (1/3)(27)
= 18π
2樓：
用柱面座標：
∫∫∫（g）（x^2+y^2）dv
=∫∫∫r^3dv
=∫(0, π/2)dθ∫(0,√6)rdr∫(0,r^2/2)r^2dz
=π/2∫(0,√6)r^5/2dr
=(π/4)(√6)^6
=27π
計算三重積分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)與z=2-x^2-y^2所圍成的閉區域
3樓：曉龍修理
結果為：
解題過程如下：
求三重積分閉區域的方法：
設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為δδᵢ，||t||=max，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)δδᵢ。
若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。
設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…，n）並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。
果空間閉區域g被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在g上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。
先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。區域條件：對積分區域ω無限制；函式條件：對f（x,y,z）無限制。
先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。區域條件：
積分區域ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成函式條件：f（x，y）僅為乙個變數的函式。
4樓：匿名使用者
第四題你的寫法是對的，答案應該不是16π/3
另外，你的做法並不是柱座標系計算，而是極座標計算，下面給出柱座標系的計算，你會發現最終答案和你是一樣的
第三題的列式是對的，具體計算沒細看
5樓：匿名使用者
選用柱座標表示：0≤θ≤2pi，0≤r≤1，r2≤θ≤2-r2，
計算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所圍成的立體的體積
6樓：您輸入了違法字
首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,得到：
2-x²=x²+2y²
即x²+y²=1
所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了：x²+y²=1
要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x²+y²<1.用這個條件,我們發現2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。
根據上面的討論,我們就可以寫出體積分：
v=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
這裡用符號_(x²+2y²)來表達z積分的下限,^(2-x²)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x²+y²=1.)
對z的積分很容易：
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是對xy的兩重積分。
v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.
v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
兩個積分各為：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
v=(1/2)2π=π
所以體積是π。
7樓：cyxcc的海角
聯立方程，消去z得交線在xoy面的投影曲線為x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2＜=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重積分自己算一下吧)
∫∫∫ω(x^2+y^2)dv,其中ω是為上半球面z=√a2-x2-y2與上錐面z=√x2+y2所
8樓：匿名使用者
答：(8 - 5√2)πa⁵/30
被積函式只有x² + y²，但考慮到錐面和球面，球座標最適合
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosθ
dv = r²sinφ drdφdθ
錐面在下，球面在上
√(x² + y²) ≤ z ≤ √(a² - x² - y²)
x² + y² = r²sin²φ，0 ≤ φ ≤ π/4
∫∫∫_(ω) (x² + y²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/4) sinφ dφ ∫(0,a) r²sin²φ * r² dr
= (2π)∫(0,π/4) sin³φ dφ ∫(0,a) r⁴ dr
= (2π) * (8 - 5√2)/12 * a⁵/5
= (8 - 5√2)πa⁵/30
如果用柱座標的話，有一點要注意
交圓：a² - x² - y² = x² + y² ==> x² + y² = a²/2
即0 ≤ r ≤ a/√2
球座標和柱座標的半徑變化是不同的，乙個從原點出發，乙個從z軸出發
運用柱座標的結果如下：
∫(0,2π) dθ ∫(0,a/√2) r dr ∫(r,√(a²-r²)) r² dr
計算三重積分∫∫∫ω（x^2+y^2）dv,其中ω是由曲面x^2+y^2=2z和z=2所圍成的閉區域
9樓：曉龍修理
^結果為：16π/3
解題過程如copy下：
解：原式=∫
<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫r^2dz (作柱面座標變換)
=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr
=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3
求函式積分的方法：
設f（x）是函式f（x）的乙個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式f（x）+c（c為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=f（x）+c。
其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，c叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
積分是微積分學與數學分析裡的乙個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於乙個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分。
若f（x）在[a,b]上恒為正，可以將定積分理解為在oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
10樓：匿名使用者
^你做錯了，不能那麼轉換。
解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫專2/2,2>r^2dz (作柱面座標屬變換)
=2π∫
<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3。
∫∫∫√（x^2+y^2+z^2)dv 其中ω由z=1 z=√(x^2+y^2) 圍成
11樓：匿名使用者
球面座標：
{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
圓錐面z = √(x² + y²) ==> 0 ≤ φ ≤ π/4
頂z = 1 ==> rcosφ = 1 ==> r = secφ ==> 0 ≤ r ≤ secφ
dv = r²sinφdrdφdθ
∫∫∫ω √(x² + y² + z²) dv
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφdφ ∫(0→secφ) √(r²) r²dr
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ * (1/4)[ r⁴ ] |(0→secφ)
= (π/2)∫(0→π/4) sinφsec⁴φ dφ
= (π/2)∫(0→π/4) tanφsec³φ dφ
= (π/2)∫(0→π/4) sec²φ d(secφ)
= (π/2)(1/3)[ sec³φ ] |(0→π/4)
= (π/6)(2√2 - 1)
= (1/6)(2√2 - 1)π
還有以下兩種柱座標方法，供參考：
切片法：
dz：x² + y² = z²
∫∫∫ω √(x² + y² + z²) dv
∫(0→1) dz ∫∫dz √(x² + y² + z²) dxdy
= ∫(0→1) dz ∫(0→2π) dθ ∫(0→z) √(r² + z²) rdr
= (1/6)(2√2 - 1)π
投影法：
∫∫∫ω √(x² + y² + z²) dv
= ∫∫dxy dxdy ∫(r→1) √(x² + y² + z²) dz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) rdr ∫(r→1) √(r² + z²) dz
= (1/6)(2√2 - 1)π
計算Ix y z 1 dv,其中 x 2 y 2 z 2 R
由於積分區域 x y z r 關於座標三軸都對稱且被積函式中的x,y,z都是奇函式 若f x,y,z f x,y,z 則說f x,y,z 關於z是奇函式 在對稱區間上的奇函式的積分結果是0 所以用對稱性可得 x y z dv 0剩下的 dv，是球體 的體積 4 3 1 4 3 所以原積分 x y z...
計算x 2 y 2）dS,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2計算曲面積分
z aa xx yy，z x x aa xx yy z y y aa xx yy ds 1 z x 2 z y 2dxdy adxdy aa xx yyyy，在xoy面的投影區域d是xx yy aa，原式 內 容上半球面 下半球面 化成d上的二重積分並用極座標計算得到 2a 0到2 dt 0到a r...
計算三重積分x2y2dv其中是由柱面x
因為,曲面來z x 2 y 2在柱座標下的方自程為z 2這題如果是計算積分值的話,正解如下 因為z 常數的平面與 截得區域的面積為 z所以 zdxdydz 0 4 z z dz 1 3 z 3 0 4 64 3 計算三重積分 x 2 y 2 dv,其中 是由曲面x 2 y 2 2z和z 2所圍成的閉...