1樓：匿名使用者
由於積分區域ω：x² + y² + z² = r²關於座標三軸都對稱且被積函式中的x,y,z都是奇函式
若f(x,y,-z)=-f(x,y,z)，則說f(x,y,z)關於z是奇函式
在對稱區間上的奇函式的積分結果是0
所以用對稱性可得∫∫∫ (x+y+z) dv = 0剩下的∫∫∫ dv，是球體ω的體積
= 4/3**π*1³
= 4π/3
所以原積分∫∫∫ (x+y+z+1) dv = 4π/3
計算∫∫∫(x+y+z^2)dv，其中ω即區域範圍是由曲面x^2+y^2-z^2=1和平面z=h,z=-h(h>0)所圍成。
2樓：
積分區域為單葉雙曲面與上下兩平行平面z=h,z=-h所圍成空間區域，
在xoz平面和yoz平面的截面是等軸雙曲線，在xoy平面是半徑為1的圓，上下底面為半徑為√（1+h^2)的圓，
該積分區域被xoy平面分成上下對稱兩部分，故只積上半部即可，另八個卦限都相同，只要積其中乙個卦限即可，
為簡便，化成柱面座標，
∫∫∫(x+y+z^2)dv
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）(rdr）∫(0→h)(rcos+rsinθ+z^2)dz
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）[rcosθ+rsinθ）h+h^3/3)rdr
=8∫(0→π/2） dθ[(hr^3/3)cosθ+(hr^3/3)sinθ+r^2h^3/6](0→√（1+h^2))
=8∫(0→π/2） dθ[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)cosθ+[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)sinθ+(1+h^2)h^3/6]
=8h(1+h^2)/3∫(0→π/2） [√（1+h^2)cosθ+√（1+h^2)sinθ+h^2/2]
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(sinθ-cosθ)+θh^2/2) ]((0→π/2）
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(1-0-0+1)+πh^2/4]
=8h(1+h^2)/3(2√（1+h^2)+πh^2/4)
=2h(1+h^2)(8√（1+h^2)+πh^2)/3.
3樓：匿名使用者
積分域是單葉雙曲面與兩平面所圍成.記為q.它在第一卦限的部分記為q1由於區域的對稱性和函式的奇偶性,可知,
∫∫∫(x+y)dv=0.即以下只要計算:
∫∫∫z^2)dv.
再由對稱性:
∫∫∫(x+y+z^2)dv=8倍在q1上的積分.
用柱座標用,化為:
∫∫∫z^2rdrdadz (a表示極角)積分域q1表達為:
0 0 0 首先:對r積分(區間:0 =z^2*(r^2)/2的上限值-下限值 =z^2[(1+z^2)-0]/2= 然後,對a 積分,區間(0, pi/2) (z^4 對a是常量)故積分得: =(pi/2)*(z^4+z^2)/2 最後,對z積分,區間( 0,h) =(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值 =(pi/2)*[(h^5)/5+(h^3)/3]/2原積分=8*(pi/2)*[(h^5)/5+(h^3)/3]/2=2*pi*[(h^5)/5+(h^3)/3] 4樓：匿名使用者 哇塞~告別數壇太多年了~愛莫能助！！！ 計算三重積分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)與z=2-x^2-y^2所圍成的閉區域 5樓：曉龍修理 結果為： 解題過程如下： 求三重積分閉區域的方法： 設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為δδᵢ，||t||=max，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)δδᵢ。 若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。 設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…，n）並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。 果空間閉區域g被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在g上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。 先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。區域條件：對積分區域ω無限制；函式條件：對f（x,y,z）無限制。 先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。區域條件： 積分區域ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成函式條件：f（x，y）僅為乙個變數的函式。 6樓：匿名使用者 第四題你的寫法是對的，答案應該不是16π/3 另外，你的做法並不是柱座標系計算，而是極座標計算，下面給出柱座標系的計算，你會發現最終答案和你是一樣的 第三題的列式是對的，具體計算沒細看 7樓：匿名使用者 選用柱座標表示：0≤θ≤2pi，0≤r≤1，r2≤θ≤2-r2， 因為,曲面來z x 2 y 2在柱座標下的方自程為z 2這題如果是計算積分值的話,正解如下 因為z 常數的平面與 截得區域的面積為 z所以 zdxdydz 0 4 z z dz 1 3 z 3 0 4 64 3 計算三重積分 x 2 y 2 dv,其中 是由曲面x 2 y 2 2z和z 2所圍成的閉... z x 2 y 2，表示開口向上的拋物面。y 0平面內的z x 2繞z軸旋轉得到。z 2 x 2 y 2，表示兩個在原點處相對的圓錐面。y 0平面內的z x繞z軸旋轉可以得到。z 根號下x 2 y 2，表示上面那個圖形的上半部分，就是頂點在原點的圓錐面，y 0平面內的z x 繞z軸旋轉可以得到。第乙... z aa xx yy，z x x aa xx yy z y y aa xx yy ds 1 z x 2 z y 2dxdy adxdy aa xx yyyy，在xoy面的投影區域d是xx yy aa，原式 內 容上半球面 下半球面 化成d上的二重積分並用極座標計算得到 2a 0到2 dt 0到a r...計算三重積分x2y2dv其中是由柱面x
z x 2 y 2，z 2 x 2 y 2，z根號下x 2 y 2，他們的圖形分別是什麼
計算x 2 y 2）dS,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2計算曲面積分