1樓：網友
利用乙個不等式的性質 ：(a+b+c)/3≥³√abc) a,b,c﹥0.
2樓：網友
直接用均值不等式啊，1/a+1/b+1/c≥3/abc的3次方跟，1+6/(a+b+c)≤1+6/3倍（abc的3次方跟）=1+2/abc的3次方跟，因為abc≤1，所以3/abc的3次方跟-2/abc的3次方跟=1/abc的3次方跟≥1，所以1/a+1/b+1/c≥3/abc的3次方跟≥1+2/abc的3次方跟≥1+6/(a+b+c)。這裡等號條件相同（a=b=c）
3樓：網友
解，據題目，若a,b,c＞0，abc≤1，可推測a,b,c為小於1的正小數，或者等於1，當a,b,c均等於1時1/a+1/b+1/c≥1+6/(a+b+c)才會成立。而當a,b,c為任意正小數時，均會＞1，而a+b+c會為小數，或＞1的小數，舉例子時，當為a為，b為為時，所以1/a+1/b+1/c等於15+10/3，而1+6/(a+b+c)等於11所以成立。
乙個競賽的不等式，求助。
4樓：梅隨流水
令f=a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 - 2(ab +bc +ca). 則只須證f≥0
設a>=b>=c
若c>=1 代數變形。
f＝(a－1)^2＋2(b－1)×(c－1)a＋(b－c)^2>=0若c<1 f＝(a＋bc－b－c)^2＋c(2－c)(b－1)^2＋(c－1)^2>=0
5樓：網友
右邊變形得4a^2+4b^2+4c^2>=2a^2+2b^2+2c^2+2(ab+bc+ac) 和左邊比較若 3a^2+3b^2+3c^2+2abc+1>=4a^2+4b^2+4c^2 則等式成立，且成立的條件是等號同時滿足，解得a=b=c=1。這樣對應左邊取得最小值。則說明a ,b ,c>1。
這樣變成了比較2abc+1和a^2+b^2+c^2的大小。因為在a,b,c>1時。a^2+b^2+c^2>=3abc>2abc+1.
滿足的等號條件還是a=b=c=1，等式成立。
6樓：栩箭
令f(a,b,c) = aa + bb + cc + 2abc + 1 - 2ab - 2bc - 2ac
f對a的偏導 f'a = a + bc - b - c
f對b的偏導 f'b = b + ac - a - c
f對c的偏導 f'c = c + ab - a - b
令f'a = f'b = f'c = 0, 在a，b，c≥0下求得駐點(a,b,c)為(0,0,0)或者(1,1,1)
f(0,0,0) = 1
f(1,1,1) = 0
f(+∞= +∞
所以點(1,1,1)是在a,b,c≥0下的使得f(a,b,c)最小的點。
f(a,b,c) ≥f(1,1,1) = 0
即aa + bb + cc + 2abc + 1 - 2ab - 2bc - 2ac ≥ 0
整理aa + bb + cc + 2abc + 1 ≥ 2( ab + 2bc + 2ac )
7樓：解析數論
上面的答案都有迴圈論證的理論錯誤。是錯的解答。特別是第乙個解答如下：
由抽屜原理，a,b,c至少有兩個在1的同側（要麼2個都大於1，要麼2個都小於1）
不妨設a,b在1的同側，所以：（a-1)(b-1)大於等於0
ab大於等於a+b-1,兩邊乘以2c...
並且aa+bb+cc+1大於等於2ab+2c...
以上兩式相加即可！
8樓：網友
先分情況討論。
1）其中任意乙個為0
例如c=0;a,b>0則。
a^2+b^2+1≥2ab顯然成立。
2）其中任意兩個為0
例如a=b=0;c>0則。
c^2+1≥0顯然成立。
3）三個都為0則。
1≥0 顯然成立。
4）a,b,c>0則。
9樓：李科和王姍姍
是a的n次方乘以2，還是別的。
一道不等式的高中數學競賽題
10樓：
第一問。首先，a b c為正數，則肯定1/（a+1） 1/（b+1） 1/（b+1）都小於1的．三個之和就小於。
3,所以不等式前面一部分成立．
不等式後面一部分證法．
1/（a+1）+1/（b+1）+1/（b+1）≥3倍3次根號。
因為。a+1）(b+1)(c+1)≤[a+1)+(b+1)+(c+1)]^3/27=(a+b+c+3)^3/27≤(3+3)^3/27=8
則1/[(a+1）(b+1)(c+1)]≥1/8
所以。1/（a+1）+1/（b+1）+1/（b+1）≥3倍3次根號≥3倍3次根號（1/8）＝3/2,若且唯若a=b=c=1時取等號。
第二問。a+1）/(a(a+2))=
所以原式＝利用第一問證明1/[(a+1）+1/(b+1)+1/(c+1)≥3/2的方法同樣可以證得。
1/a+1/b+1/c≥3
1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)≥1
所以原式＝不等式成立。
11樓：網友
1)根據柯西不等式得：
a+1)+(b+1)+(c+1)][1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)]>=(1+1+1)^2=9
即1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=9/(a+1+b+1+c+1)=9/(a+b+c+6)
又因為a+b+c<=3 故9/(a+b+c+6)>=9/3+3=3/2
所以1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/2
3-1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)=a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)
有因為a、b、c為正實數，所以a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)>0
故3-1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>0<=>3>1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)
綜合起來即為：3>1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/2
2)因為a+1=1/2*(a+a+2)故原式可化為：
a+1)/a(a+2) +b+1)/b(b+2) +c+1)/c(c+2)=1/2[1/a+1/(a+2) +1/b+1/(b+2) +1/c+1/(c+2)]
1/2*[1/a +1/b+1/c+1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)]
同理根究柯西不等式可得：
1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9/3=3
1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)>=9/(a+2+b+2+c+2)=9/(a+b+c+6)>=9/(3+6)=1
故原式》=1/2*[3+1]=2 證畢！
12樓：網友
柯西不等式一般形式 （∑ai^2；））bi^2;))ai·bi)^2; 等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。
根據柯西不等式得：
a+1)+(b+1)+(c+1)][1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)]>=(√[a+1)*1/(a+1)]+b+1)*1/(b+1)]+c+1)*1/(c+1)])2=(1+1+1)^2=9
即1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=9/(a+1+b+1+c+1)=9/(a+b+c+3)
又因為0＜a+b+c≤3 故3≤(a+b+c+3)≤6
3≥9/(a+b+c+3)0≥3/2
所以1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/2
2)因為a+1=1/2*(a+a+2)故原式可化為：
a+1)/a(a+2) +b+1)/b(b+2) +c+1)/c(c+2)=1/2[1/a+1/(a+2) +1/b+1/(b+2) +1/c+1/(c+2)]
1/2*[1/a +1/b+1/c+1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)]
同理根究柯西不等式可得：
a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)^2=9
1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c)
0＜a+b+c≤3
1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c)≥3
同理。a+2+b+2+c+2)[1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)]≥1+1+1)^2=9
1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)>=9/(a+2+b+2+c+2)=9/(a+b+c+6)>=9/(3+6)=1
故原式》=1/2*[3+1]=2
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