1樓:擦毛毛雨
求解乙個應力函式必須滿足下列條件:
(1)在區域內的相容方程
(2)在邊界s上的應力邊界條件(假設全部為應力邊界條件(3)對於多連體,還須滿足多連體重的位移單值條件
彈性力學:平面問題中應力函式φ須滿足什麼條件?
2樓:匿名使用者
應力函式φ應滿足相容方程(變形協調方程),由φ求出的應力分量在邊界上還應當滿足應力邊界條件。在求解位移時,多連體要額外考慮位移單值條件。
彈性力學平面問題的應力函式法
3樓:中地數媒
一、彈性力學平面問題的基本方程
真實的彈性體都是空間物體,但當其形狀和受力情況具有某些特點時,在數學上可按平面問題處理。平面問題分為平面應力問題和平面應變問題,兩種平面問題的基本未知量、平衡微分方程、幾何方程是相同的。
1.平衡微分方程
如不計體力,彈性力學平面問題的平衡微分方程如式(2-1)所示:
岩石斷裂與損傷
式中:σx、σy、τxy分別為正應力和切應力分量。
2.幾何方程
設平面內一點在x、y方向的位移分量為u、v;應變分量為εx、εy、γxy。則應變與位移的關係即幾何方程,如式(2-2)所示:
岩石斷裂與損傷
3.物理方程(本構方程)
平面應力問題和平面應變問題的物理方程(或稱為本構方程)不同,對於平面應力問題,在彈性範圍內,應力與應變關係如式(2-3)所示:
岩石斷裂與損傷
式中:e為材料的彈性模量;μ為泊松比;g為剪下彈性模量。對於平面應變問題,應將上式中的e、μ進行如下代換:
岩石斷裂與損傷
為求解上述方程,可採用位移法或應力法。將應力作為基本未知量求解彈性力學問題的方法稱為應力法。
二、airy應力函式法
眾多學者研究過彈性力學問題的解。2023年,airy給出一種解為
岩石斷裂與損傷
將式(24)代入式(21),不難驗證它滿足平衡微分方程。式(24)中ψ(x,y)稱為airy應力函式。為使應力函式ψ(x,y)滿足其他方程,ψ(x,y)還必須滿足變形協調條件:
岩石斷裂與損傷
即ψ(x,y)為雙調和函式,如果找到應力函式,通過應力邊界條件確定應力分量中的待定常數,然後由物理方程求應變分量,再由幾何方程求位移分量。
三、westergaard應力函式法
2023年,h.m.westergaard在《bearing pressures and cracks》中提出下列復變應力函式:
岩石斷裂與損傷
式中:分別是解析函式z=z(z)的一次積分和二次積分,即
岩石斷裂與損傷
顯然,也是解析函式。式中:z=x+iy,其中x、y都是實變數,表示單元體的位置座標。為了以後應用的方便,下面簡要介紹一下有關復變函式的一些性質。
如z=x+iy是乙個復變數,則z(z)=rez(z)+iimz(z)為復變函式。若z(z)為解析函式,即復變函式z(z)在某區域上處處可導。則必須滿足柯西-黎曼條件(cauchy-riemann):
岩石斷裂與損傷
可以證明:
(1)如z(z)為解析函式,則:▽2rez=0,▽2imz=0。
即:任何復變解析函式及其實部與虛部都滿足調和方程,它們都是調和函式。
(2)z(z)可導,則有
岩石斷裂與損傷
(3)如z(z)為解析函式,則
岩石斷裂與損傷
岩石斷裂與損傷
根據復變函式的性質,可以證明式(2 6)所示的ψ是否可以作為應力函式,即證明ψ是否滿足雙調和方程:
岩石斷裂與損傷
因為z為調和函式,故
岩石斷裂與損傷
因為z為調和函式,
岩石斷裂與損傷
故ψ可作為應力函式。相應的應力分量為
岩石斷裂與損傷
將式(2-7)代入式(2-3)得
岩石斷裂與損傷
故岩石斷裂與損傷
同理可得y方向的位移分量v。位移分量u、v為
岩石斷裂與損傷
利用應力法求解彈性力學平面問題,需要以什麼為基本未知數
4樓:ip情敵
從而得出所設定的應力函式可以
解決什麼樣的問題。
半逆解法:根據所要求的問題,根據彈性體的邊界形狀和受力狀態,假設部分或者全部的應力分
量的函式形式,如果能全部滿足,從而得出應力函式,然後再考察這個應力函式能否滿足相容方程及應力
邊界條件逆解法:先設定各種形式的 滿足相容方程的應力函式,這些應力分量對應什麼樣的應力 ,求出應力分量,然後根據邊界條件來考察
在各種彈性體上,則假定的應力函式為
錯誤的,重新選取應力函式,就能得出正確答案,如果不能滿足
什麼是平面應變問題
5樓:風劉才子腎寶儒
平面應變問題是指具有很長的縱向軸的柱形物體,橫截面大小和形狀沿軸線長度不變;作用外力與縱向軸垂直,並且沿長度不變;柱體的兩端受固定約束的彈性體。這種彈性體的位移將發生在橫截面內,可以簡化為二維問題。
在分析階段的結構分析中沒有計入彈性模量的非線性影響。此外,還可以用等效結構單元plane82型來替代上述單元進行結構分析。
擴充套件資料:
平面應力問題和平面應變問題的力學模型是完全不同的。
平面應力問題討論的彈性體為薄板。薄壁厚度為h遠遠小於結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面,其所受外力,包括體力均平行於中面oxy麵內,並沿厚度方向oz不變。
而且薄板的兩個表面不受外力作用。
6樓:匿名使用者
在力學分析問題過程中,隨處可見平面應力和平面應變的概念分歧,平面應力和平面應變都是起源於簡化空間問題而設定的概念。平面應力:只在平面內有應力,與該面垂直方向的應力可忽略,例如薄板拉壓問題。
平面應變:只在平面內有應變,與該面垂直方向的應變可忽略,例如水壩側向水壓問題。具體說來:
平面應力是指所有的應力都在乙個平面內,如果平面是oxy平面,那麼只有正應力σx,σy,剪應力τxy(它們都在乙個平面內),沒有σz,τyz,τzx。平面應變是指所有的應變都在乙個平面內,同樣如果平面是oxy平面,則只有正應變εx,εy和剪應變γxy,而沒有εz,γyz,γzx。 舉例說來:
平面應變問題比如壓力管道、水壩等,這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體,橫截面大小和形狀沿軸線長度不變;作用外力與縱向軸垂直,並且沿長度不變;柱體的兩端受固定約束。平面應力問題討論的彈性體為薄板,薄壁厚度遠遠小於結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面,其所受外力,包括體力均平行於中面麵內,並沿厚度方向不變。
而且薄板的兩個表面不受外力作用。
平面應變(plane strain)是指變形的前後,應變橢球體中間主應變軸長度不變的應變狀態。
1、平面應變是指與分析平面正交的應變等於零的情況.在分析階段的結構分析中沒有計入彈性模量的非線性影響.此外,還可以用等效結構單元plane82型來替代上述單元進行結構分析
2、這類二維變形就稱為平面應變.好些金屬塑性加工過程都可近似地按平面應變分析.
3、考慮乙個彈性柱體,取z軸平行於母線,如果應變場滿足條件(1)εx、εy、εxy僅僅是x、y的函式(2)εxz=εyz=εz=0則,這樣的應變狀態稱為平面應變,符合這一條件的力學問題稱為平面應變問題。
7樓:匿名使用者
平面應變問題 所屬分類:力學 彈性力學平面應力問題和平面應變問題的力學模型是完全不同的。
平面應力問題討論的彈性體為薄板。薄壁厚度為h遠遠小於結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面,其所受外力,包括體力均平行於中面oxy麵內,並沿厚度方向oz不變。
而且薄板的兩個表面不受外力作用。
平面應變問題是指具有很長的縱向軸的柱形物體,橫截面大小和形狀沿軸線長度不變;作用外力與縱向軸垂直,並且沿長度不變;柱體的兩端受固定約束的彈性體。這種彈性體的位移將發生在橫截面內,可以簡化為二維問題。
如圖所示，彈性力學平面應力問題，一端固定，另外一端受到均勻拉
這種情況通常採用逆解法或半逆解法，即假設位移函式的形式，然後根據邊界條件確定待定係數。本題可以採用應力函式解法，設 ax 2 1 帶入協調方程，此題應自動滿足位移協調條件 2 求出應力分量，帶入平衡方程，此題應自動滿足平衡方程 3 根據上邊界條件，確定a 5 由物理方程確定應變 6 由幾何方程確定位...
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