1樓:善言而不辯
求出定義域內導數值等於0的點(駐點)及不可導的點,如兩者均不存在,則函式是單調函內數;
求出極容值點:判斷駐點及不可導點左右一階導數值的正負有無變化,有為極值點(左-右+為極小值點,左+右-為極大值點),無,則不是極值點。也可以通過求二階導數(一階導數再對x求導)來判斷:
將駐點值代入,求出駐點處的二階導數值,二階導數值》0,該駐點為極小值點,二階導數值<0,該駐點為極大值點,二階導數值=0,該駐點可能不是極值點,需進一步判斷。
極小值點左側為單調遞減區間,右側為單調遞增區間,極大值點左側為單調遞增區間,右側為單調遞減區間。類似解不等式的穿針引線法,就可得出極值點(定義域端點)之間單調區間。
用導數求函式的單調性,詳細步驟,
2樓:匿名使用者
答:f(x)=-ln(1+x)+(xlnx) /(1+x)求導:f'(x)=-1/(x+1) +(lnx+1) /(1+x) -(xlnx)/(1+x)2
f'(x)=(lnx) /(1+x)-(xlnx) /(1+x)2f'(x)=(xlnx+lnx-xlnx) /(1+x)2f'(x)=(lnx) /(1+x)2
解f'(x)=0得:lnx=0
所以:x=1
因為:定義域滿足x>0
所以:0減函式
x>1時,f'(x)>0,f(x)是單調遞增函式
3樓:
^f'(x)=-1/(1+x)+[(1+lnx)(1+x)-xlnx]/(1+x)^2
=[-(1+x)+(1+lnx)(1+x)-xlnx]/(1+x)^2
=[(1+x)lnx-xlnx]/(1+x)^2=lnx/(1+x)^2
由f'(x)=0得lnx=0,即x=1
定義域為x>0,
當x>1時,f'(x)>0,函式單調增;
當0減。
4樓:及枝栗秋雙
如果求單調區間
,必須令
導函式>0,如果已知
單調性,求引數的
取值範圍
,必須令導函式》=0。
5樓:我不是他舅
f'(x)=-1/(1+x)+[(lnx+1)(1+x)-xlnx]/(1+x)2
=-1/(1+x)+(lnx+1+x)/(1+x)2=lnx/(1+x)2
顯然分母大於0
所以0,f'(x)<0,f(x)遞減
x>1,f'(x)>0,f(x)遞增
6樓:哉諳
對給出的函式進行求導,如果導函式恆大
於零或恆小於零,則該函式單調,導函式恆大於零,單調遞增,恆小於零,單調遞減。如果導函式與x軸有交點,則看如果導函式某一段的值大於零,則增,小於零,則減
根據上面可以大致畫出函式的變化影象,值域範圍就能看出來了希望能解決您的問題。
怎麼用導數來判斷函式單調性
7樓:路堯家的顧小言
1、先判斷函式y=f(x)在區間d內是否可導(可微);
2、如果可導(可微),且x∈d時恒有f'(x)>0,則函式y=f(x)在區間d內單調增加;反之,若x∈d時,f'(x)<0,則稱函式y=f(x)在區間d內單調減少。
其他判斷函式單調性的方法還有:
1、圖象觀察法
如上所述,在單調區間上,增函式的圖象是上公升的,減函式的圖象是下降的。因此,在某一區間內,一直上公升的函式圖象對應的函式在該區間單調遞增;
一直下降的函式圖象對應的函式在該區間單調遞減;
2、定義法
根據函式單調性的定義,在這裡只闡述用定義證明的幾個步驟:
1在區間d上,任取x1x2,令x12作差f(x1)-f(x2);
3對f(x1)-f(x2)的結果進行變形處理(通常是配方、因式分解、有理化、通分,利用公式等等);
4確定符號f(x1)-f(x2)的正負;
5下結論,根據「同增異減」原則,指出函式在區間上的單調性。
8樓:小蘋果
先寫出原函式的定義域,然後對原函式求導,令導數大於零,反解出x的範圍,該範圍即為該函式的增區間,同理令導數小於零,得到減區間。若定義域在增區間內,則函式單增,若定義域在減區間內則函式單減,若以上都不滿足,則函式不單調。
定義:如果函式y=f(x)在區間d內可導(可微),若x∈d時恒有f'(x)>0,則函式y=f(x)在區間d內單調增加;反之,若x∈d時,f'(x)<0,則稱函式y=f(x)在區間d內單調減少。
9樓:貿夏真唐諾
利用導數判斷函式的單調性的方法
利用導數判斷函式的單調性,其理論依據如下:
設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式;如果,則為減函式。如果,則為常數。
要用導數判斷好函式的單調性除掌握以上依據外還須把握好以下兩點:
導數與函式的單調性的三個關係
我們在應用導數判斷函式的單調性時一定要搞清以下三個關係,才能準確無誤地判斷函式的單調性。以下以增函式為例作簡單的分析,前提條件都是函式在某個區間內可導。
1.與為增函式的關係。
由前知,能推出為增函式,但反之不一定。如函式在上單調遞增,但,∴是為增函式的充分不必要條件。
2.時,與為增函式的關係。
若將的根作為分界點,因為規定,即摳去了分界點,此時為增函式,就一定有。∴當時,是為增函式的充分必要條件。
3.與為增函式的關係。
由前分析,為增函式,一定可以推出,但反之不一定,因為,即為或。當函式在某個區間內恒有,則為常數,函式不具有單調性。∴是為增函式的必要不充分條件。
函式的單調性是函式一條重要性質,也是高中階段研究的重點,我們一定要把握好以上三個關係,用導數判斷好函式的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題,都一律用開區間作為單調區間,避免討論以上問題,也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題,特別是研究以下問題時。
二.函式單調區間的合併
函式單調區間的合併主要依據是函式在單調遞增,在單調遞增,又知函式在處連續,因此在單調遞增。同理減區間的合併也是如此,即相鄰區間的單調性相同,且在公共點處函式連續,則二區間就可以合併為乙個區間。
【例】用導數求函式()的單調區間。
解:(用第一種關係及單調區間的合併),當,即或時,∴在,上為增函式,又∵在處連續,且相鄰區間的單調性又相同,∴在上為增函式。
舊教材很少提到函式單調區間的合併,原因在於教師很難講,學生很難把握,但是新教材引進函式的連續性和導數之後就很容易說明,也很容易理解了。
綜之,用導數證明劃分函式的單調性是導數最常用、也是最基本的應用,其它重要性如極值、最值等都必須用到單調性。它比用單調性的定義證明要簡單許多,劃分也容易理解得多。討論可導函式得單調性可按如下步驟進行:
確定的定義域;(2)求,令,解方程求分界點;
(3)用分屆點將定義域分成若干個開區間;
(4)判斷在每個開區間內的符號,即可確定的單調性。
以下是前幾年高考用導數證明、求單調性的題目,舉例說明如下:
例1設,是上的偶函式。
(i)求的值;(ii)證明在上是增函式。(2023年天津卷)
解:(i)依題意,對一切有,即,
∴對一切成立,由此得到,,又∵,∴。
(ii)證明:由,得,
當時,有,此時。∴在上是增函式。
10樓:匿名使用者
解:你的思路沒有錯,繼續求就是了!
f'(x)=x2+ax+1
1)當a=0時;
f'(x)=x2+1>0
因此,原函式在r上單調遞增;
2)當a≠0,且a2-4<0,即:a∈(-2,0)u(0,2)時,f'(x)=(x+1/2a)2+1-1/4a2≥1因此,原函式在r上單調遞增;
3)當a≠0,且|a|≥2時,
令:f'(x)=0,則:
x1,2=[-a±√(a2-4)]/2,則:
∴x∈(-∞,[-a-√(a2-4)]/2]u[[-a+√(a2-4)]/2,+∞),f(x)↑
x∈(-a-√(a2-4)]/2,-a+√(a2-4)]/2),f(x)↓
如何用「導數法」求函式的單調性?
11樓:
f'(x)是函式y=f(x)的導函式,簡稱導數。
我們利用導數的正與負來判斷原函式的增與減。
x∈a,當f'(x>0時,則函式f(x)在a上單調增;
x∈a,當f'(x)<0時,則函式f(x)在a上單調減;
12樓:匿名使用者
分段函式需要單獨考慮每個分段
一階導數大於零,函式遞增
一階導數等於零,有極值(拐點)
一階導數小於零,函式遞減
13樓:幽谷百合
先求導數,讓導數大於0,得到的自變數範圍是單調遞增區間;讓讓導數小於0得到的自變數範圍是單調遞減區間
怎麼用導數判斷函式單調性
14樓:貿夏真唐諾
數的單調性的方法
利用導數判斷函式的單調性,其理論依據如下:
設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式;如果,則為減函式。如果,則為常數。
要用導數判斷好函式的單調性除掌握以上依據外還須把握好以下兩點:
導數與函式的單調性的三個關係
我們在應用導數判斷函式的單調性時一定要搞清以下三個關係,才能準確無誤地判斷函式的單調性。以下以增函式為例作簡單的分析,前提條件都是函式在某個區間內可導。
1.與為增函式的關係。
由前知,能推出為增函式,但反之不一定。如函式在上單調遞增,但,∴是為增函式的充分不必要條件。
2.時,與為增函式的關係。
若將的根作為分界點,因為規定,即摳去了分界點,此時為增函式,就一定有。∴當時,是為增函式的充分必要條件。
3.與為增函式的關係。
由前分析,為增函式,一定可以推出,但反之不一定,因為,即為或。當函式在某個區間內恒有,則為常數,函式不具有單調性。∴是為增函式的必要不充分條件。
函式的單調性是函式一條重要性質,也是高中階段研究的重點,我們一定要把握好以上三個關係,用導數判斷好函式的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題,都一律用開區間作為單調區間,避免討論以上問題,也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題,特別是研究以下問題時。
二.函式單調區間的合併
函式單調區間的合併主要依據是函式在單調遞增,在單調遞增,又知函式在處連續,因此在單調遞增。同理減區間的合併也是如此,即相鄰區間的單調性相同,且在公共點處函式連續,則二區間就可以合併為乙個區間。
【例】用導數求函式()的單調區間。
解:(用第一種關係及單調區間的合併),當,即或時,∴在,上為增函式,又∵在處連續,且相鄰區間的單調性又相同,∴在上為增函式。
舊教材很少提到函式單調區間的合併,原因在於教師很難講,學生很難把握,但是新教材引進函式的連續性和導數之後就很容易說明,也很容易理解了。
綜之,用導數證明劃分函式的單調性是導數最常用、也是最基本的應用,其它重要性如極值、最值等都必須用到單調性。它比用單調性的定義證明要簡單許多,劃分也容易理解得多。討論可導函式得單調性可按如下步驟進行:
確定的定義域;(2)求,令,解方程求分界點;
(3)用分屆點將定義域分成若干個開區間;
(4)判斷在每個開區間內的符號,即可確定的單調性。
以下是前幾年高考用導數證明、求單調性的題目,舉例說明如下:
例1設,是上的偶函式。
(i)求的值;(ii)證明在上是增函式。(2023年天津卷)
解:(i)依題意,對一切有,即,
∴對一切成立,由此得到,,又∵,∴。
(ii)證明:由,得,
當時,有,此時。∴在上是增函式。
求解導數和函式的單調性的關係,導數與單調性的關係
1 若f x 0在 a,b 上恆成立,則f x 內在 a,b 上是增 容函式,f x 0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間 2 若f x 0在 a,b 上恆成立,則f x 在 a,b 上是減函式,f x 0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間。看導數在定義域內的數值為 正數還是負數,正數單調遞...
函式與導數問題，函式單調性與導數問題
根據拉各朗日中值定理，f x1 f x2 f k x1 x2 其中x1 k x2 所以由後面的導函式命題很容易推出前面，因此首先這是乙個充分條件而根據導數定義，導數等於f x lim x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 兩側同取絕對值，得到 f x f x1 f x2 x1 x2 1恆成立 ...
用導數求函式的單調性，詳細步驟怎麼用導數判斷函式單調性
答 f x ln 1 x xlnx 1 x 求導 f x 1 x 1 lnx 1 1 x xlnx 1 x f x lnx 1 x xlnx 1 x f x xlnx lnx xlnx 1 x f x lnx 1 x 解f x 0得 lnx 0 所以 x 1 因為 定義域滿足x 0 所以 0減函式 ...