1樓：針尖對麥芒
數學不是「數」學——話說無理數
「數學是一門研究數量關係和空間形式的科學」的說法在中國曾經十分流行，這可能與恩格斯著作的長期影響有關。對於數學，今天人們更加認同於如下的說法：
「數學是乙個完全自成體系的知識領域…數學僅僅討論它本身想象中的實體及關係」（《科學技術百科全書》[麥格勞-希爾圖書公司]第1卷數學，科學出版社1980，235-236頁）；
「到2023年，數學已經從實在性中**出來了；它已經明顯地而且無可挽回地失去了它對自然界真理的所有權，因而變成了一些沒有意義的東西的任意公理的必然推論的隨從了」（ 克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，111頁）。
照此說法，數學就不是「數」學了。然而，數學與生俱來的強大應用性並不因為「數學已經從實在性中**出來了」而有稍微的減弱。既是抽象的又有實在的一面，人們逐漸形成了對數學的主流看法——數學的現狀「一方面是其內在的統一性，另一方面是外界應用的更高的自覺性」，數學的兩種趨勢是「從外部尋求新問題和在內部追求統一」（美國國家研究委員會《振興美國數學——90年代的計畫》，葉其孝等譯，世界圖書出版公司1993），而不再侷限於給數學下乙個定義。
畢達哥拉斯
無理數是乙個能恰好地描述數學特徵的案例。從數學發展史看，人類對無理數的發蒙始於古希臘畢達哥拉斯（pythagoras，西元前582-497）學派，但二千四百年後才產生包括無理數在內的實數嚴格定義；從當今教育的知識體系看，學生在初中階段開始接觸無理數，直到大學畢業卻仍然不明白無理數的實質含義。歷史與現實兩者的契合正好說明無理數的兩面特徵，應用性使得它是常見的數學工具之一，而抽象性又使所有非數學工作者不能真正認識它。
克羅內克
數系的擴張過程以自然數為基礎，德國數學家克羅內克（kronecker，1823-1891）說「上帝創造了整數，其它一切都是人造的」（克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，41頁）。零與自然數的產生源於人類在生存活動中的原始衝動，這一推測想來不會有問題，人的雙手有十指與十進位制的廣泛使用也當然有密切關係；
類似於 2+3=5 的事實產生了加法的概念，然而2加上幾會等於1呢？由此需要定義負數：乙個數的「負數」即它與該數之和等於0；進而定義減法。產生零、負自然數，合稱整數；
加法的重複進行產生了乘法，2×3=6 就是三個2相加。然而2乘以幾會等於1呢？由此需要定義倒數：乙個數的「倒數」即它與該數之積等於1，進而定義除法，產生既約分數，合稱有理數。
以上過程不論用抽象的數學語言還是通俗語言來描述都容易為人接受，可以說由於計數、測量的需要而擴大了數系。
最早出現的無理數也與計數、測量有關。乘法的重複進行產生了乘方，23 就是三個2相乘，然而哪個數的平方會等於2呢？畢達哥拉斯學派提出了這個問題，邊長為1的正方形的對角線的長度不是既約分數，後來用√2表示對角線的長度，無理數的概念初步形成。
以下是關於√2不是有理數的乙個證明，載於歐幾里德《幾何原本》，但據說是更早的畢達哥拉斯學派所作 ：設√2是既約分數p/q，即√2=p/q，則2q2=p2，這表明p2是偶數，p也是偶數（否則若p是奇數則p2是奇數），設p=2k，得q2=2k2，於是q也是偶數，這與p/q是既約分數矛盾。
雖然開方運算可能產生無理數，但仿照上述辦法來擴張數系會遇到困難。例如僅用開方定義新的數例如√2，3√2（後來被稱為初等無理數）是不夠的；(1+√2) 就不能通過對某有理數開方而得，那麼(1+√2)是什麼？試作一比較，任何有理數總可以乘以某整數而還原成整數，但(1+√2)的任何次乘方卻不可能得到有理數。
阿貝爾考慮到此，容易想到的辦法是用有理數的加減乘除、乘方、開方定義新的數，後來被稱為復合無理數，顯然它包含了初等無理數。畢竟擴張數系的動力之一是使代數方程有解，例如(1+√2)的產生使得方程x2-2x-1=0有解。
但又有新的問題，挪威數學家阿貝爾（abel，1802-1829）於2023年證明「一般五次方程不能只用根式求解」，緊接著法國數學家伽羅瓦（galois，1811-1832）解決「方程須有何種性質才可求根式解」的問題，復合無理數立即黯然失色。
伽羅瓦數學家頑強地推進，索性將新的數系定義為所有有理係數方程的根（後來稱為代數數），有理數、初等無理數、復合無理數都被包括在內。數系的擴張本來是從現實需要出發的問題，但現在已經開始變得抽象了，因為代數數中那些不是有理數、初等無理數、復合無理數的「數」究竟什麼樣子？這不僅不能回答，似乎也並不重要，重要的是這樣的「數」確實存在。
不得不面對的煩惱是，乙個代數數的描述與運算都必須通過相關的代數方程的係數，而且代數方程的根通常不是唯一的。
徹底摧毀這一定義方式的是2023年柳維爾（liouville，1809-1882）證明非代數數的存在。早在2023年代，e=1+(1/1!)+(1+2!
)+...+(1/n!)+...
與圓周率π被證明是無理數，在柳維爾的結論宣布後不久，2023年、2023年數學家埃爾公尺特(hermite，1822-1901)與林德曼（lindemann，1852-1939）先後證明e,π不是代數數。
由於有理數可表示成有限小數或無限迴圈小數，人們想到用「無限不迴圈小數」來定義無理數，這也是直至19世紀中葉以前的實際做法。它看起來很通俗，不明白無理數奧妙的人大體也是這樣理解無理數的。但這樣做遇到的困難更大：
關鍵的問題是你無法判斷乙個數是無限不迴圈的，也不能將兩個無限不迴圈的數進行加減乘除。
不迴圈的無限小數當然是難以認識，如果我們翻用一下列夫•托爾斯泰著名**《安娜•卡列尼娜》中的名句「幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸」，那就是：迴圈的小數都是一樣的迴圈，不迴圈的小數各有各的不迴圈！16世紀德國數學家施蒂費爾（stifel，約1486-1567）說「當我們想把它們數出來（用十進小數表示）時，…就發現它們無止境地往遠處跑，因而沒有乙個無理數實質上是能被我們準確掌握住的…。
而本身缺乏準確性的東西就不能稱其為真正的數…。所以，正如無窮大的數並非數一樣，無理數也不是真正的數，而是隱藏在一種無窮迷霧後面的東西」（克萊因《古今數學思想》第1冊，上海科學技術出版社1979， 292頁）
克萊因指出「所有在weierstrass（德國數學家外爾斯特拉斯1815-1897——引註）之前引進無理數的人都採用了這樣的概念，即無理數是乙個以有理數為項的無窮序列的極限。但是這個極限，假如是無理數，在邏輯上是不存在的，除非無理數已經有了定義」（克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，46頁）。
一本著名的數學教材將「無限不迴圈小數」稱為「中學生的實數」，「用這個定義，實數是非常具體的物件，但在定義加法和乘法時所包含的困難是不容忽視的」，在介紹了加法定義的一種方式及指出乘法可類似處理後說「不過，乘法逆元素的存在將又一次是最困難的」並就此打住（斯皮瓦克《微積分》下冊，張毓賢等譯，人民教育出版社1981，695頁）。
根據施蒂費爾的說法我們只能說√2不是有理數，而不能說它是無理數，因為我們還沒有定義什麼是「無理數」。前述古希臘人關於√2無理性的證明應當是「不存在這樣的有理數使其平方等於2」。由於除了有理數就沒有數，√2根本就不是「數」。
現在可以看到無理數問題的困難所在：從開方運算的逆運算與確定邊長為1的正方形的對角線長度的需要，都應當在有理數的基礎上再擴大，這與以往從自然數擴大到整數、從整數擴大到有理數沒有什麼兩樣。然而在具體做法上，利用運算的逆向進行或通過對有理數進行代數運算或用代數方程的根而產生的「數」是不完全的，「無限不迴圈小數」的說法又不合理不嚴格。
這一困難使數學史上數系的擴張停滯了兩千多年。
進一步擴張數系的必要性是不成問題的，在很長時間裡人們將無理數理解為其近似值，從實用的角度來說，乙個沒有嚴格定義的東西難道就不能存在、不能使用嗎？但是數學奉行嚴密邏輯的理念自歐幾里德《幾何原本》以來就堅定不移，不以現實為背景的非歐幾何的產生（18世紀）加深了數學家對於擺脫實在性的趨同。
從整數產生有理數曾經主要是根據測量、計數的需要，但現在要回到始點從頭做起。例如純粹從數學發展的內在動力與邏輯來定義有理數：
設p,q是整數，則數偶(p,q)稱為有理數，規定兩個有理數的乘法、加法規則，證明它們符合交換律、結合律等等。這是乙個用以參考的正規化：將某種「物件」定義為實數，其目標與要求應當是能包含以上已有的所有物件，有通常的加法乘法且符合運算規則。
以下介紹的兩種定義中的「數」僅指有理數，而實數是用「數」按特定方式構成的那樣一些「物件」或「東西」。
戴德金（dadekind，1831-1916）定義：乙個實數定義為有理數的乙個集合，這個集合是數軸上所有有理數從某處分開的左邊「一半」（數學術語為「分割」），且沒有最大的數。
按戴德金的定義，實數集合的每個元是有理數集合的乙個子集，乙個實數是有理數的乙個集合。例如所有小於2的有理數集合確定乙個實數，它就是2；所有其平方小於2的有理數集合確定乙個實數，它就是√2。須注意這兩例有乙個重要區別，對應於有理數的「分割」其「右半」有最小的數2，對應於無理數的「分割」其「右半」沒有最小的數。
戴德金的定義**於這樣的啟示：每個有理數作為有長度的線段，對應著數軸上的座標。邊長為1的正方形的對角線線段也應對應數軸上的乙個點，這意味著如果只有有理數，數軸上存有「空隙」——儘管有理數非常稠密。
應當填補這些「空隙」使數軸成為完美的，歐幾里德《幾何原本》中曾記載過這一思想的雛形。
康托（cantor，1845-1918）定義：乙個實數定義為有理數的柯西序列a1,a2,...,an，此處an都是有理數，且滿足對於任意自然數p必有自然數n，使當m＞n,n＞n時有|am-an|＜1/q。
康托的定義**於如下的啟示：若只限於有理數，則「微積分」的命題「單調有界數列必收斂」可能不成立，例如有理數數列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是單調遞減的、有界的，其極限是√2。
在以上兩種定義中還要分別規定實數之間的大小比較、如何運算然後證明運算是符合熟知的規則的。另乙個需要解決的重要問題是，這兩種實數定義所規定的這些「東西」在抽象意義上是不是相同的？如果不能肯定回答豈不會帶來一片混亂，何況還會有其它形式的實數定義。
這些問題當然都已一一妥帖解決。
試對兩種定義做一比較評判：康托的定義較實在，由於明顯涉及了無限（必定有時間如何發展的直覺）的概念稱為是動態的。例如，說數列1,1.
4,1.41,1.414,1.
4142,...定義無理數√2，必須附加對於數列變化規律的種種說明。戴德金的定義較虛幻，但是是靜態的，它擺脫了由時間直覺所附加的束縛。
為了加深印象，現在我們必須用最簡明最通俗的語言來描述一下「實數」：按戴德金的說法，乙個實數是有理數的乙個集合；按康托的說法，乙個實數是有理數的乙個（柯西）序列。數學史上還有別的實數定義，在那裡實數又有另外一副面孔。
幾乎在構建實數體系的同時，2023年康託還證明了無理數比有理數多得多、非代數數比代數數多得多！這也意味著，無形的、不是根式的無理數竟比直觀的、根式的無理數多得多！數軸上代表有理數的點雖然是稠密的——任何兩個有理數點之間恒有無數多有理數點，但是除有理數點外的「空隙」更多。
「空隙」一旦填滿，稠密概念發展成了連續的概念，數軸上點與實數完全對應，無理數問題畫上了永遠的句號。這裡涉及關於集合中元素「個數」的比較問題，本文限於篇幅就此打住了。
實數體系的建立，使得諸如3√2表示什麼得以明確，「高等數學」中命題「單調有界數列必收斂」、閉區間連續函式的性質得以證明。
然而從應用角度或對於非數學工作者（絕大多數人）而言，卻是再次回到古希臘。無理數仍然是「小數」，人們並不真正關心它的「無盡」、「不迴圈」，事實上也無法弄清楚，只是按需要取作適當位數的近似值。例如說到圓周率π，為什麼要關心它是迴圈的還是不迴圈的呢？
「十位小數就足以使地球周界準確到一英吋以內，三十位小數便能使整個可見宇宙的四周準確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的乙個量」（丹齊克《數：科學的語言》蘇仲湘譯，上海教育出版社2023年，98頁）。
至於數學家，在定義了無理數之後依然兩手空空，數學家所知道的無理數確實少的可憐：知道得最多的只是各式各樣的根式，這是古希臘人即已知道的；其次是π與e兩個非代數數。那些比代數數多得多的無理數在哪兒？
2023年數學家希爾伯特（hilbert，1862-1943）提出著名的23個數學問題即包括了這一內容。以後的進展是，數學家證明若α是代數數（除0與1）、β是無理的代數數，則αβ是非代數數（2023年）。然而，若稍微追問一句「(π+e)是無理數還是有理數」？
則至今都沒有嚴密的答案。數學家心安理得的是建立了無懈可擊的實數體系，在堅實的基礎上，任何閒言碎語都是不足道的。無理數所體現的完美無缺、一絲不苟的純粹理性與無孔不入、盡人皆知的世俗應用，可謂佔盡天上人間風光，正是數學的魅力之所在。
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