1樓：袖口草沒
你可以這樣想象乙個z=f(x,y)的三維影象，每乙個（x,y）點都有乙個z與之對映，可以想象得到那將是乙個曲面，然後你想象曲面上乙個特定的點，它就像你在爬山的時候站在半山腰一樣。
如果你平的在那個半山腰左右走，那麼你的高度是不會變的。這裡高度就是z的值。這條你剛剛走的線就是等值線。
既然在求梯度的時候要求導，正如一元函式一樣，你把「很小的曲面」當作「平面」來求導，正如你在一元函式中把「一小段曲線」當化做"直線"一樣。你可以想象如果你筆直朝著山頂走，就可以最快的上公升（如果是平面,而且你的速度一定的話）。這條向上的線的就是梯度向量加上z的增量所組成的向量。
（注意，二元函式的梯度是二維的向量。兩個維度是自變數。）
現在你已經在這個曲面上找到了等值線和梯度了，試想下，你在乙個斜的平面上走，向上公升最快的方向是不是唯一的呢？平著走和向上走兩個方向是不是垂直的呢？所以說,梯度是等值線的法線方向.
這就是梯度幾何意義，如果用向量乘來計算，那將是
→ →
δz = grad z · l
我很奇怪為什麼打出來這個點乘符號這麼小。左邊是z的增加量，就是上公升多少，右邊是乙個向上走的方向，乙個是你現在選擇的前進的方向向量。這裡選擇前進方向為（δx,δy）,得到：
δz=z'｜x · δx +z'｜y ·δy 你可以看到,這就是二元函式偏導的定義.
現在把你前進的速度定為1,也就是l的長度定為1,得到的值就是方向導數.這是因為你選定了方向和速度,那麼左邊就是你上公升的速度,也就是方向導數.
希望我的話對你理解有所幫助.
2樓：混沌的複雜
唯一的。 二元函式z=f(x,y) 在（x0,y0） 點的梯度為(df/dx,df/dy)|(x0,y0)（偏導）
它可以理解為函式變化最快的方向。下面嚴格證明。過（x0,y0）函式的等值線為
f(x,y)=f(x0,y0) ，它確定了y與x之間的乙個隱函式y=h(x). 等值線在(x0,y0)處的切線方向為
（1,dy/dx）|x=x0 對f(x,y)=f(x0,y0) 兩邊對x求全微分得 0=df/dx+df/dy*dy/dx
右端正好就是梯度方向點乘 切線方向，所以。。
請問二元函式在某個點的梯度是一定的嗎，或者說二元函式在一點的梯度只有唯一乙個？？
3樓：玉杵搗藥
1、樓主問：二元函式在某個點的梯度是一定的嗎？
答：是的，只要這個函式是確定的，某點的梯度就是一定的！
2、樓主問：二元函式在一點的梯度只有唯一乙個？
答：是的，唯一的。
為什麼梯度的方向是等值面法線方向
4樓：玉潤釁振凱
簡單來說，梯度方向是函式增長最快的方向，很顯然增長最快的方向是過該點的等量面的法線方向，所以，函式在一點的梯度方向是這點的法線方向
5樓：勁無憂
所謂梯度的方向，是函式值增大最快的方向，從一條等值線到下一條等值線，斜著走是不是需要走更遠的路？那就不是最快的方向，只有處處垂直等值線，才會在走同樣的距離的情況下，跨過最多的等值線。
6樓：
真不知道上面那些回答的人有沒有認真看過梯度的定義，估計是複製黏貼來的吧，居然還有人點贊。。。
首先問題應該是錯了，二元函式中，正確表述是梯度是等值線的法向量，梯度不可能和等值面正交，梯度和等值面是平行的（或者就在等值麵內）。
以下是不嚴謹的證明：以二元函式為例，設函式z=f(x, y)。那麼它在點 p上的梯度向量為:
v1=(fx(p), fy(p))。設等值線函式為且過點p，根據隱函式求導法則，可以求出等值線函式在點p處的導數為:-fx(p)/fy(p)。
於是可以設乙個向量v2=(1, -fx(p)/fy(p)) ，然後就會發現v1和v2兩個向量內積為0，兩個向量正交。
在三元函式中，等值線公升維成等值面，梯度依然是法向量，證明方法同上。
7樓：匿名使用者
我認為就是這樣規定的，其它方向的值幾乎各不相同
8樓：匿名使用者
某點的梯度是該點最大的方向導數，此方向與等值面垂直！
為什麼梯度是從等值線數值小的指向數值大的
9樓：匿名使用者
這是乙個人複為約定，保證求制算出的梯度為正值。
這就是從多元微積分的角度來做說明的，因為梯度本質是偏導數，從定義來看，這個約定就更明顯了，求梯度的時候，總是沿著某一變數的函式值增大的方向來求偏導數值的，說得更直白一點，就類似於求遞增函式的斜率的情形。
為什麼等值面上一點梯度是這點關於等值面 垂線方向上的方向導數。
10樓：謎惑中
所謂某點梯度的大小是指那一點的方向導數的最大值；
任意個方向的方向導數可以表示為： df/dl=(df/dn)cosα+(df/dt)sinα；
其中，df/dn為等值面垂線上的方向導數，df/dt為等值面切線上的方向導數（易知由於沿切線f不變，df/dt=0），α為n和l的夾角；
則：df/dl=(df/dn)cosα；所以當α=0時df/dl最大，為df/dn，即函式梯度大小=df/dn。
【高數】【梯度】法線不是對空間曲面而言的麼？為什麼等值線會有法線，這怎麼理解？ 40
11樓：水瓶
平面圖線也有法線。比如物理中光的反射折射。如果是平面圖形，法線就是這一點的垂線。
如果你是學文科的應該知道等高線，等高線也是可以作法線。
等值線畫到平面上了，也會有法線。過一點做等值線切線，過這一點做與這個切線垂直的線就是法線。
通俗講，等值線現在只是畫在紙張上的乙個曲線而已。所以是有法線的。
12樓：
我知道樓主**理解錯了。梯度的確是某一類曲線的法線方向，重要的問題是：什麼曲線？
是等值線！就是所有滿足f(x,y)=c的點（x,y)確定的曲線。那在單變數下怎麼理解？
就是f(x)=c確定的x，只不過是一些點而已！樓主把函式曲線本身給當成等值線了。那這種情形下梯度的方向怎麼確定？
回顧梯度的意義：函式值增長最快的自變數改變方向。所以在單變數情況下只能是沿x正方向或負方向，導數為正就沿正方向，導數為負就沿負方向。
函式在某一點可導是函式在該點連續的
可導 連續 連續 可導 可導是連續的充分不必要條件 選項c正確 c充分條件。可導必定連續,但連續不一定可導。如y x 在x 0點連續但不可導。函式在某一處可導是函式在該點連續的什麼條件 但不必要條件 可導必然連續,所以是充分條件 但是連續不一定可導,所以是不必要條件。因此,函式在某一處可導是函式在該...
函式在某一點可導的條件，函式在某點連續的充要條件，還有在某點可導的充要條件，說詳細點
只需要左極限以及右極限存在且相等就可以！1.在函式定義域內 2.在該點存在極限且左極與右極相等 函式在某點連續的充要條件，還有在某點可導的充要條件，說詳細點 判斷函式f x 在x0點處連續,當且僅當f x 滿足以下三個充要條件 1 f x 在x0及其左右近旁有定義。2 f x 在x0的極限存在。3 ...
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