1樓：匿名使用者
解答：證明：
（1）令：eij表示單位陣中的第i行和第j行對換，則由題意內b=eija，而eij是初等矩陣，容是可逆的，又a是可逆的，
根據逆矩陣的乘積依然是可逆的，得：
b=aeij可逆．
（2）∵b=eija，
∴b-1=（eija）-1=a-1?eij-1=a-1eij，（eij的逆矩陣依然為本身）從而：ab-1=a?a-1eij=eij．
急求乙份線性代數試卷（帶答案的）大一學的
2樓：我乃天堂的使者
a題（滿分60分）
一、填空題（每小題3分，共5小題，滿分15分）
1． 設a為4階方陣，且|a|=2，則|2a-1|= 。
2． 齊次線性方程組 只有零解，則 應滿足的條件是 。
3． 設b=（bij）3x3,則矩陣方程 的解x= 。
4． 設a為n階方陣，且秩（a）=n-1,則秩（a*）= 。
5． 設n階矩陣a的元素全為1，則a的n個特徵值是 。
二、選擇題（每小題3分，共5小題，滿分15分）
1． 設a為n階可逆矩陣， 是a的乙個特徵值，則a的伴隨矩陣a*的特徵值之一是（ ）。
a）． -1|a|n b）． -1|a| c）． |a| d）． |a|n
2．設有m個n維向量（m>n）,則（ ）成立。
a）．必定線性相關 b）．必定線性無關 c）．不一定相關 d）．無法判定
3．若向量 線性無關， 線性相關，則（ ）。
a）． 必可由 線性表示 b）． 必不可由 線性表示
c）． 必可由 線性表示 d）． 必不可由 線性表示
4．設n(n 3)階矩陣a＝ ，如果a的秩為n-1，則a必為（ ）。
a）．1 b）． c）．－1 d）．
5．設aij是n階行列式d中元素aij的代數余子式，則（ ）成立。
a）．a11a11+ a12a12+ + a1na1n=d b）．a11a11+ a12a21+ + a1nan1=d
c）．a11a11+ a12a12+ + a1na1n=0 d）．a11a11+ a12a21+ + a1nan1=0
三、計算題（每小題5分，共3小題，滿分15分）
1．dn= 。
2．設a＝ ，ab＝a＋2b，求b。
3．解方程ax＝b,已知（a b） 行初等變換 → 。
四、（7分）
設證明： 與 有相同的秩。
五、（8分）
a，b 取何值時，方程組
無解？有惟一解？有無窮解？當無窮解時求其一般解。
b題（滿分40分）
一、（8分）
設a是n階可逆方陣，將a的第i行和第j行對換後得到矩陣記為b。
1）．證明：b可逆
2）．求ab－1
二、（8分）
設a為n階冪等陣，a2＝a，則r（a）＋r（e－a）＝n
三、（8分）
設向量組
1) 當a取何值時，該向量組的秩為3。
2) 當a取上述值時，求出該向量組的乙個極大線性無關組，並且將其它向量用該組線性表出。
四、（8分）
設3階矩陣a的特徵值為 對應的特徵向量依次為
，向量 ，
1） 將 用 線性表出。
2） 求an （n n）。
五、（8分）
用正交相似變換把下面二次型化為標準形：
c題（滿分20分）
試卷說明：c題是線性代數應用部分試題，是試點型考生必做內容。本部分試題有五小題，每題4分，滿分20分。
一、（本題滿分4分）
某班有m個學生，分別記為1號，2號，…，m號，該班某學年開設有n門課程，第i號學生第j門課程得分為xij，體育得分為yi，政治表現得分為zi，嘉獎得分為di。xij， yi， zi均採用百分制。若學校規定三好考評與獎學金考評辦法如下：
三好考評按德、智、體分別佔25%，60%，15%進行計算。德為政治表現，智為n門課程成績得分均值，體為體育表現得分，再加嘉獎分。
獎學金按課程得分乘以課程重要係數kj計算。
試給出每位學生的兩類考評得分的分數矩陣表示式綜合表：
二、（本題滿分4分）
農場的植物園中，某種植物的基因型為aa，aa， aa，農場計畫採用aa型植物與每種基因型植物相結合的方案培育植物後代，已知雙親體基因型與其後代基因型的概率。
父體—母體基因型
aa-aa aa- aa aa-aa後代
基因型 aa 1 1/2 0
aa 0 1/2 1
aa 0 0 0
三、（本題滿分4分）
求函式f (x，y，z) = x2 +2 y2 +3z2 – 4xy + 4yz在附加條件：x2 + y2 +z2 =1下的最大值及最小值。
四、（本題滿分4分）
已知二次型 = 的秩為2，求：
1） 引數c及此二次型對應矩陣的特徵值；
2） 指出方程 表示何種二次曲面。
五、（本題滿分4分）
結合你的專業或生活實際，舉乙個線性代數實用例項。
d題（滿分20分）
試卷說明：d題是線性代數實驗部分試題，是試點型考生必做內容。本部分試題有五小題，每題4分，滿分20分。
一、作圖題（任選一）
1、 作函式y=sin[x y]的圖形，其中
2、 作函式 的圖形，其中
3、 自畫乙個三維圖形。
二、行列式的運算（任選一）
1、計算行列式
2、計算行列式b= 3、計算行列式c=
4、自編乙個大於或等於3階的行列式並求其值。
三、求矩陣的逆矩陣與伴隨矩陣（任選一）
1、已知
（1）求a-1與a*（伴隨矩陣）（2）求矩陣x使滿足:axc=t
2、求下列方陣的逆陣與伴隨矩陣
(1) ； (2) 。
3、自編乙個大於或等於3階的矩陣並求其逆陣與伴隨矩陣
四、求解線性方程組（任選一）
1、 已知 ,計算a的秩及ax=0的基礎解系.
2、 解方程組
3、 求解線性方程組：
4、 自編並求解乙個大於或等於3個未知數的線性方程組。
五、求矩陣的特徵值與特徵向量（任選一）
1、求矩陣a= 的特徵值和特徵向量。2、求矩陣a= 的特徵值和特徵向量。
3、自編乙個大於或等於3階的矩陣並求其特徵值和特徵向量。
設a,b為n階方陣,若abab,證明ae可逆,且ab
因為ab a b a e b e e,所以a e可逆ab a b ab a b.a b e b,兩邊bai乘以du zhia ea b e a e b a e 然後同時減去a得出 a b e a e a b a e a ba a b化簡dao得出 a ba a b e e a ba a b ba a...
線性代數設A是mn矩陣,C是n階可逆矩陣,則RAR
c是n階可逆矩陣,則c可以表示為有限個初等矩陣的乘積,ac相當於對a做了有限次列初等變換 初等變換不改變矩陣的秩 所以r a r ac r a r ac 0 r a r ac 乙個矩陣乘上乙個可逆矩陣是不改變它的秩的,這是秩的性質 乙個矩陣左乘或右乘乙個可逆矩陣,它的秩不發生變化,所以等於0 設a為...
證明如果a是n階方陣,a是a的伴隨矩陣,那麼ra
當r a n時,有a可逆,a 0,由 aa a e,說明a 可逆,r a n 當r a n 1時,有a不可逆,a 0所以 aa a e 0,所以r a n r a 1。而矩陣a的回秩為n 1,所以說在a中的n 1階子式中至少有乙個不為0,所以a 中有元素不為0,即a 0,r a 1。所以r a 1 ...