1樓：彎曲的時鐘
這個是代數基本定理,高斯最早給的證明 我只記得一個在抽象代數書上的證明
證明比較長 思路大概是
1 實係數奇數次方程有實根 (這隻要用數學分析中連續函式的介值定理)
2 復係數2次方程有2復根 (配方法就行)
3 實係數方程有復根
證 (粗略的) 次數設為 2^mq q為奇數 對m歸納
m=0時 由1 得證
若m>=k時成立
對m=k+1時
g(x)=x^n+a(n-1)x^(n-1)......+a0 (n=2^mq)
為實域r上多項式
則 在某一拓域f上有n個根(用到域的拓張的知識 如果不懂 可以想象 取x1為
一個字 定義他滿足上述方程 講其加到 r上 得r上拓域記為r(x1) 當然這一點是要證明的 不過涉及知識比較多 理解一下就好 然後 原多項式可分解為 (x-x1)g1(x) 接著繼續取g1(x)=0的根x2 得r(x1,x2) 一直做下去 可得 在某1拓域上 g(x)=0有n個根 x1,x2......xn)
設為 x1,x2,......xn 則g(x)=(x-x1)......(x-xn)
對實數c 有 作x-(xi+xj+cxixj) 對每個n>=i>j>=0
將他們全部相乘 得h(x) 則h(x) 為 n(n+1)/2=2^(m-1)q(n+1)次注意到 q(n+1)為奇數
再看h(x) 易知 h(x)中每項係數都為 x1,x2......xn在r上的對稱多項式 由
對稱多項式基本定理 知 每項係數 都能寫成
u1,u2......un的多項式 其中
u1=x1+x2+...xn
u2=x1x2+x1x3+...x1xn+x2x3...x2xn...+xn-1xn
u3=x1x2x3+x1x2x4...xn-2xn-1xn
......
un=x1x2...xn
由韋達定理(或者說由(x-x1)(x-x2)...(x-xn)=g(x)對比係數)知
u1=-a(n-1)
u2=a(n-2)
......
un=(-1)^n *a
所以u1...un為實數
所以h(x)為實係數多項式 所以由歸納假設知 h(x)=0有復根
所以存在某個 i,j有
xi+xj+cxixj為複數 (注意到 i j 是與c有關的 所以記為i(c) j(c))
因為 (i,j)的數對只有有限多個 但c屬於r有無窮多 所以 存在 c1不=c2有
(i(c1),j(c1))=(i(c2),j(c2))記為i j
則 xi+xj+c1xixj=a屬於c
xi+xj+c2xixj=b屬於c
則 容易解得 xi+xj=(c2a-c1b)/(c2-c1)屬於c
xixj=(a-b)/(c1-c2)屬於c
則 xi xj 為 復係數2次方程
x^2- (c2a-c1b)/(c2-c1)x+(a-b)/(c1-c2)=0 的2根
由2知 xi xj為複數 所以f(x)=0有復根
4 復係數方程有復根
證 設f(x)為復係數多項式 f1(x)為他的共軛 則 g(x)=f(x)f1(x)為實係數多項式 所以 g(x)=0有復根x 則為f(x)=0或f1(x)=0的根 所以
x或x的共軛為f(x)=0的復根
5復係數n次方程有n個復根(計入重根)
(這是明顯的 因為由5 知 n次復係數方程f1(x)=0有復根 設為x1則f可分解 有
f1(x)=(x-x1)f2(x) 其中f2為復係數n-1次多項式 所以有復根 x2 則
f1(x)=(x-x1)(x-x2)f3(x) 一直下去得 f(x)=(x-x1)(x-x2)......(x-xn)
所以有n個復根
2樓：
除去重根的情況。每個n次一元方程都可以分解成若干個由m個（ax^2+bx+c）和n個（ax+b）組成的因式（2
m+n=n）
當然如果算上重根情況就不見得有那麼多根了
為什麼n次一元方程在複數域內有n個根
3樓：闕睿才榮映
^.x2xn..;=k時成立
對m=k+1時
g(x)=x^n+a(n-1)x^(n-1)..xn)
設為x1,j(c2))記為ij則
xi+xj+c1xixj=a屬於c
xi+xj+c2xixj=b屬於c
則容易解得
xi+xj=(c2a-c1b)/.(x-xn)=g(x)對比係數)知
u1=-a(n-1)
u2=a(n-2)
..;(c1-c2)屬於c則xi
xj為復係數2次方程
x^2-
(c2a-c1b)/,.,j有
xi+xj+cxixj為複數
(注意到ij
是與c有關的
所以記為i(c)
j(c))
因為(i.+a0
(n=2^mq)
為實域r上多項式
則在某一拓域f上有n個根(用到域的拓張的知識
如果不懂
可以想象
取x1為
一個字定義他滿足上述方程
講其加到
r上得r上拓域記為r(x1)
當然這一點是要證明的
不過涉及知識比較多
理解一下就好
然後原多項式可分解為
(x-x1)g1(x)
接著繼續取g1(x)=0的根x2
得r(x1.;(c1-c2)=0
的2根由2知
xixj為複數
所以f(x)=0有復根
4復係數方程有復根
證設f(x)為復係數多項式
f1(x)為他的共軛
則g(x)=f(x)f1(x)為實係數多項式
所以g(x)=0有復根x
則為f(x)=0或f1(x)=0的根
所以x或x的共軛為f(x)=0的復根
5復係數n次方程有n個復根(計入重根)
(這是明顯的
因為由5
知n次復係數方程f1(x)=0有復根
設為x1則f可分解
有f1(x)=(x-x1)f2(x)
其中f2為復係數n-1次多項式
所以有復根x2則
f1(x)=(x-x1)(x-x2)f3(x)
一直下去得
f(x)=(x-x1)(x-x2).un的多項式
其中u1=x1+x2+..
un=(-1)^n
*a所以
u1.,j)的數對只有有限多個
但c屬於r有無窮多
所以存在
c1不=c2有
(i(c1).......xn
則g(x)=(x-x1)..;=0
將他們全部相乘
得h(x)
則h(x)
為n(n+1)/...xn
u2=x1x2+x1x3+........,j(c1))=(i(c2)..xn
由韋達定理(或者說由(x-x1)(x-x2)..;(c2-c1)屬於c
xixj=(a-b)/.
un=x1x2.;j>.;(c2-c1)x+(a-b)/2=2^(m-1)q(n+1)次注意到
q(n+1)為奇數
再看h(x)
易知h(x)中每項係數都為
x1...un為實數
所以h(x)為實係數多項式
所以由歸納假設知
h(x)=0有復根
所以存在某個
i.xn-2xn-1xn
..,x2...,x2....x1xn+x2x3...,u2......,x2.;=i>..,x2)
一直做下去
可得在某1拓域上
g(x)=0有n個根
x1....+xn-1xn
u3=x1x2x3+x1x2x4.(x-xn)
對實數c
有作x-(xi+xj+cxixj)
對每個n>..xn在r上的對稱多項式
由對稱多項式基本定理
知每項係數
都能寫成
u1..這個是代數基本定理,高斯最早給的證明
我只記得一個在抽象代數書上的證明
證明比較長
思路大概是
1實係數奇數次方程有實根
(這隻要用數學分析中連續函式的介值定理)
2復係數2次方程有2復根
(配方法就行)
3實係數方程有復根
證(粗略的)
次數設為
2^mq
q為奇數
對m歸納
m=0時
由1得證
若m>
代數基本定理有何意義呢？複數系n次代數方程在複數範圍內有n個根？不是實數，而是複數？
4樓：匿名使用者
複數本來就是包括了實數和虛數的啊。
實數都屬於複數
虛數也都屬於複數。
所以說複數的時候，自然而然就包括了實數和虛數。
當然也包括虛數中的純虛數。
5樓：匿名使用者
由於代數基本定理為：任何復係數一元n次多項式方程在複數域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次復係數多項式方程在複數域內有且只有n個根（重根按重數計算），也就是n個複數根。複數就像你說的，為包括所有的實數與虛數的數。
代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用，它影響著許多學科的發展。
在複數集內,一元n次方程根的情況如何
6樓：流淌的沙粒
開幾次跟，就有幾個解，幾何上，這些解均勻的分佈在意該複數的模為半徑的圓周上
將複數化為指數形式，模為r，公式是r的n分之1，乘以
7樓：電燈劍客
在複數域上一元n次方程有且僅有n個復根，高中生就不要考慮證明了
一樓的**有點問題，五次或更高次的方程沒有“求根公式”（也就是說不存在由係數的有限次四則運算和開方構成的公式使得所有一元五次方程的根都能表示成這種形式），並不是說沒有通解，這在galois之前已經由abel證明，galois討論的是可以根式求解的充要條件
二樓討論的複數開方只不過是x^n=a形式的特殊的n次方程
8樓：匿名使用者
開幾次，有幾種解決方案，幾何形狀，這些解決方案的多個模具到索引的成形模的複雜的半徑的圓周上的均勻分佈的護理是r，式rn的1，乘以一半（+2角度kπ）+罪n（角+kπ每1
9樓：匿名使用者
一般情況應該是沒有通解(這一點是伽羅瓦證明的）
為什麼一元n次方程至多有n個實數根
10樓：林若宇小木
應該是在複數域中n次方程有n個根，複數域大於實數域。
在複數域中n次方程有n個根稱為代數基本定理。
是不是一元n次方程就有n個實根，如果是，為
11樓：
五次及以上一元n次方程未必有實根，19世紀法國數學家天才少年埃瓦利斯特·伽羅瓦就證明了
為什麼n元一次方程有n個複數解？
12樓：匿名使用者
俊狼獵英團隊為您解答：
當n≥2時，n元一次方程有無數個解，是個不定方程，不是n個解。
我想是一元n次方程，那麼它有n個複數解，解的個數與n相等。
13樓：匿名使用者
一元dun次方程一定存在n個複數解，這
zhi是代數基本定理
證明一dao
尋找一箇中心為回原點，半徑為r的閉圓盤d，使得當|答z| ≥ r時，就有|p(z)| > |p(0)|。因此，|p(z)|在d內的最小值（一定存在，因為d是緊緻的），是在d的內部的某個點z0取得，但不能在邊界上取得。於是，根據最小模原理，p(z0) = 0。
也就是說，z0是p(z)的一個零點（根）。
證明二由於在d之外，有|p(z)| > |p(0)|，因此在整個複平面上，|p(z)|的最小值在z0取得。如果|p(z0)| > 0，那麼1/p在整個複平面上是有界的全純函式，這是因為對於每一個複數z，都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|。利用劉維爾定理（有界的整函式一定是常數），可知1/p是常數，因此p是常數。
於是得出矛盾，所以p(z0) = 0。
為什麼一元四次方程最多有實數根,為什麼一元四次方程最多有四個實數根
這是代數基本定理決定的。一元n次方程恰有n個根 包括實數根和複數根 為什麼一元四次方程最多有四個實數根?應該是在複數域中n次方程有n個根,複數域大於實數域。在複數域中n次方程有n個根稱為代數基本定理。一元n次實係數方程恰好有n個復根 重根按重複計算 這是代數基本定理的推論。四次方程最多有四個實數根的...
誰知道以前在小店買的那種一元一袋的麵包？裡面有兩塊，每塊裡面有夾心，特別好吃，就是現在到處沒賣的
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一元二次方程作為初中數學代數裡重要內容之一，在中考數學中一直占有重要的地位。如中考數學會考查一元二次方程及其相關概念 一元二次方程的解法 直接開平方法 配方法 公式法 分解因式法 運用一元二次方程去解決實際生活當中的問題等應用題，這些都是中考的常考考點。同時，我們也要充分認識到，學好一元二次方程，可...