1樓：原谷夢桓衍
一、0是自然數；
二、每乙個確定的自然數a，都有乙個確定的後繼數a'
a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。）
可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由。
構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：
三、0不是任何自然數的後繼數；
但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統。
0,1,2,3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。
四、如果b、c的後繼數都是自然數雹賣a，那麼b
c；最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如。
同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。
五、設s⊆n，且滿足2個條件（i）0∈s；（ii）如果n∈s，那麼n'∈s。則s是全體自然數的集合，即s=n。(這條公理也叫敬殲歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)
注：歸納公理可以用亮肆衝來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為「n=0或n為其它數的後繼數」，那麼滿足歸納公設的條件。
若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。
2樓：潘雨竹殳之
皮亞諾公理可能每個書上說的不一樣，但是本質是一樣的握蘆沒。
它是乙個基於書裡邏輯的系統，只有乙個常量0，沒有什麼1,2,3,4等等的。
所謂的1,2,3,4等等自然數，不過是利用0進行後譁配繼運算得到的合法的段納公式，例如，如果把後繼運算記作s,那麼1可以看做s0,2就是ss0。而所謂的1,2,3,4等，不過是這些公式s0,ss0,..的簡寫。
所以：要把1,2,3等看做「公式」，而不是「數」。
而，根本不是乙個合法的公式，不是這個系統裡的東西。談不上系統的「性質」之類的。
自然數的特徵是什麼,自然數的特徵是什麼
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