1樓:7zone射手
面積的話,只需要求第一象限的面積,然後總面積乘以4即可
怎樣用曲線積分求星形線的面積
2樓:匿名使用者
用曲線積分求星形線的面積的方法:
根據第二類曲線積分和格林公式,
所求的面積:s=∫∫dxdy=∫l xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8
注:格林公式如下:
例題:用曲線積分計算星形線x=cos^3t,y=sin^3t,其中(0轉化為第二類曲線積分用格林公式推廣式做,即由推出a=1/2(∫xdy-ydx)。
那麼這個星形線的面積就可以表示為s=1/2∫【0,2π】(3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt,接下來只需要算乙個定積分即可,最後化簡出來是3/2∫【0,2π】(1/8—1/8cos4t)dt,算出來s=3π/8。
擴充套件資料
格林公式描述了平面上沿閉曲線l對座標的曲線積分與曲線l所圍成閉區域d上的二重積分之間的密切關係。 一般用於二元函式的全微分求積。
設d為平面區域,如果d內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於d,則d稱為平面單連通區域。直觀地說,單連通區域是沒有空間的區域,否則稱為復連通區域。
當xoy平面上的曲線起點與終點重合時,則稱曲線為閉曲線。設平面的閉曲線l圍成平面區域d,並規定當乙個人沿閉曲線l環行時,區域d總是位於此人的左側,稱此人行走方向為曲線l關於區域d的正方向,反之為負方向。
在平面閉區域d上的二重積分,可通過沿閉區域d的邊界曲線l上的曲線積分來表達;或者說,封閉路徑的曲線積分可以用二重積分來計算。
如區域d不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立。
注意:對於復連通區域d,格林公式的右端應包括沿區域d的全部邊界的曲線積分,且邊界方向對區域d來說都是正向。
格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡,因此其應用十分地廣泛。
3樓:車掛怒感嘆詞
[最佳答案] 用曲線積分求星形線的面積的方法:根據第二類曲線積分和格林公式,所求的面積:s=∫∫dxdy=∫l xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8 注:
格林公式...
問: 曲線積分計算星形線面積 用曲線積分計算星形線x=cos^3t,y=sin^3t,
4樓:along菲子
利用格林公式的推廣
將面積化為曲線積分
將引數方程代入
解得,面積=3π/8
過程如下圖:
為什麼用曲線積分算星形線面積的公式是這個
5樓:匿名使用者
看過格林公式的內容就知道了,那個二重積分就是計算面積
曲線積分格林公式計算星形線面積x=acos^3t,y=asin^3t.
6樓:love賜華為晨
用格林公式求星型線 x=acos3t,y=asin3t的面積.
s=(1/2)∮xdy-ydx=[0,2π](1/2)∫(3a2cos4tsin2t+3a2sin4tcos2t)dt
=[0,2π](3a2/2)∫(cos2tsin2t(cos2t+sin2t)dt=[0,2π](3a2/2)∫(cos2tsin2t)dt
=[0,2π](3a2/2)∫[(1/4)(1+cos2t)(1-cos2t)dt=[0,2π](3a2/2)∫[(1/4)(1-cos22t)dt
=[0,2π](3a2/2)[(1/8)∫dt-(1/32)∫cos4td(4t)]
=(3a2/2)[t/8-(1/32)sin4t][0,2π]=(3/8)πa2
7樓:真抒滕季同
我知道你肯定是設星形線一點的座標為(cost,sint),然後cost就等於你說的那個。不能這樣設啊,你之所以會這樣設,肯定是受高中數學三角函式單位圓的影響,在單位元裡面是可以這樣設的,因為單位元的半徑是1,而由勾股定理恰好有cos^2+sin^2=1,因此單位元就可設其上一點(cosx,sinx),但是你這裡,星形線不能這樣設!
利用曲線積分,求星形線x=acos3t,y=asin3t所圍圖形面積
8樓:格仔裡兮
面積是(3πa^2)/8。
由對稱性,s=
4∫(0→a)ydx
=4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]=12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt=12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4-專(sint)^6] dt
=12a^2[3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2]
=(3πa^2)/8。屬
9樓:愛媛媛
^利用曲線積分計算曲線所圍成圖形的面積 :
星形線x=acos3t,y=asin3t,0≤t≤2:
[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面積
s=(1/2)∫e69da5e6ba9062616964757a686964616f31333431353331[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8
10樓:匿名使用者
利用曲線積分,求星形線x=acos3t,y=asin3t所圍圖形面積
:利用曲線積分計算曲線所圍成專圖形的面積星形線x=acos3t,y=asin3t,0≤t≤2:[r(t)]^屬2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a...
利用曲線積分計算星形線所圍成的區域的面積
r t du2 x t zhi2 y t 2 a dao2 cost 6 a 2 sint 6 a 2 cost 2 sint 2 cost 4 sint 4 cost 2 sint 2 a 2 1 3 cost 2 sint 2 所以內面積 s 1 2 r t 2dt 1 2 0 2 容 a 2 ...
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