1樓：匿名使用者
^^^^[r(t)]^du2=[x(t)]^zhi2+[y(t)]^2=a^dao2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]所以內面積
s=(1/2)∫[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π容) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8
怎樣用曲線積分求星形線的面積
2樓：匿名使用者
用曲線積分求星形線的面積的方法：
根據第二類曲線積分和格林公式，
所求的面積:s=∫∫dxdy=∫l xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8
注：格林公式如下：
例題：用曲線積分計算星形線x=cos^3t,y=sin^3t，其中（0轉化為第二類曲線積分用格林公式推廣式做，即由推出a=1/2（∫xdy-ydx）。
那麼這個星形線的面積就可以表示為s=1/2∫【0，2π】（3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt，接下來只需要算乙個定積分即可，最後化簡出來是3/2∫【0，2π】(1/8—1/8cos4t)dt，算出來s=3π/8。
擴充套件資料
格林公式描述了平面上沿閉曲線l對座標的曲線積分與曲線l所圍成閉區域d上的二重積分之間的密切關係。 一般用於二元函式的全微分求積。
設d為平面區域，如果d內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於d，則d稱為平面單連通區域。直觀地說，單連通區域是沒有空間的區域，否則稱為復連通區域。
當xoy平面上的曲線起點與終點重合時，則稱曲線為閉曲線。設平面的閉曲線l圍成平面區域d，並規定當乙個人沿閉曲線l環行時，區域d總是位於此人的左側，稱此人行走方向為曲線l關於區域d的正方向，反之為負方向。
在平面閉區域d上的二重積分，可通過沿閉區域d的邊界曲線l上的曲線積分來表達；或者說，封閉路徑的曲線積分可以用二重積分來計算。
如區域d不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域，使得每個部分區域適合上述條件，仍可證明格林公式成立。
注意：對於復連通區域d，格林公式的右端應包括沿區域d的全部邊界的曲線積分，且邊界方向對區域d來說都是正向。
格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡，因此其應用十分地廣泛。
3樓：車掛怒感嘆詞
[最佳答案] 用曲線積分求星形線的面積的方法:根據第二類曲線積分和格林公式,所求的面積:s=∫∫dxdy=∫l xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8 注:
格林公式...
利用曲線積分，求星形線x=acos^3t y=asin^3t所圍成的圖形面積 10
4樓：您輸入了違法字
^答案為3/8*πa^2。抄
解題過程如下：bai
x=acos^du3t,y=asin^3t是星形線,它的面zhi積為∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→0
=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt=3/8*πa^2
利用曲線積分，求星形線x=acos 3 t．y=asin 3 t所圍成的圖形的面積．必採納
5樓：今後有你未來可期
請問cos²(3t)-sin²(3t)=cos²(6t)是對的？居然還有這麼多人點贊
曲線積分計算星形線面積
6樓：匿名使用者
轉化為第二類曲線積分用格林公式推廣式做，即由推出a=1/2（∫xdy-ydx）。那麼這個星形線的面積就可以表示為s=1/2∫【0，2π】（3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt,接下來你只需要算乙個定積分即可，不過被積函式不太好積，自己算哈。最後化簡出來是3/2∫【0，2π】(1/8—1/8cos4t)dt，算出來s=3π/8。
利用曲線積分，求星形線x=acos³t，y=asin³t所圍圖形面積
7樓：格仔裡兮
面積是(3πa^2)/8。
由對稱性，s＝
4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－專(sint)^6] dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8。屬
8樓：愛媛媛
^利用曲線積分計算曲線所圍成圖形的面積 ：
星形線x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:
[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面積
s=(1/2)∫e69da5e6ba9062616964757a686964616f31333431353331[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8
9樓：匿名使用者
利用曲線積分，求星形線x=acos³t，y=asin³t所圍圖形面積
:利用曲線積分計算曲線所圍成專圖形的面積星形線x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:[r(t)]^屬2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a...
關於求星形線面積的積分區間問題 20
10樓：匿名使用者
此處積分變數發生了改變，樓主可能是三角不等式推導過程中出了問題，由0≤x≤a即0≤acos t≤a得到0≤cos t≤1，因為此處變數為余弦，不等號需要改變方向，即pi/2≥t≥0（總不能推出pi/2≤t≤0這樣的結果吧，呵呵），從而積分方向也要發生改變。積分變數為x時是從0到a積分，積分變數為t 時應該從pi/2到0積分。
滿意請採納！！！
怎樣用曲線積分求星形線的面積,問曲線積分計算星形線面積用曲線積分計算星形線xcos3t,ysin3t,
面積的話,只需要求第一象限的面積,然後總面積乘以4即可 怎樣用曲線積分求星形線的面積 用曲線積分求星形線的面積的方法 根據第二類曲線積分和格林公式,所求的面積 s dxdy l xdy 0 2 a cost 3d a sint 3 3 a 2 8 注 格林公式如下 例題 用曲線積分計算星形線x co...
二重積分求星形線面積哪錯了，答案不對，為什麼不能用我這種方法
你的錯誤在這裡 你式子裡面的a和r應該是同乙個東西，如果你把a當常數，那就錯了 關於求星形線面積的積分區間問題 20 此處積分變數發生了改變，樓主可能是三角不等式推導過程中出了問題，由0 x a即0 acos t a得到0 cos t 1，因為此處變數為余弦，不等號需要改變方向，即pi 2 t 0 ...
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