1樓:王鳳霞醫生
解法bai:直線平行於平面du,則直線的方zhi向向量垂直於平面的dao法向量.
在空間直內角座標系中,平面的容一般式為:ax+by+cz+d=0,直線的一般方程(兩個平面的交線)為:
a1x+b1y+c1z+d1=0
a2x+b2y+c2z+d2=0
可知:平面的法向量為:(a,b,c);直線的方向向量為:
(a1,b1,c1)x(a2,b2,c2),若直線平行於平面,則兩向量垂直 (x表示叉乘)
若直線為點向式:(x-a)/m=(y-b)/n=(z-c)/p,則直線的方向向量為:(m,p,q)
例:平面方程為:-x-2y+z+3=0,直線方程為:
(x-5)/2=(y-3)/3=(z-7)/8,則平面的法向量為:
(-1,-2,1),直線的方向向量為:(2,3,8)因為:(-1,-2,1)*(2,3,8)=-2-6+8=0所以兩向量垂直,所以直線平行於平面
在空間直角座標系中法向量的具體求法(選取點的要求以及求法公式)
2樓:匿名使用者
乙個麵中任取兩條非平行直線,求得它們的座標(我這裡分別記為向量a和向量b)。設該面的乙個法向量為m,求法就是兩個方程聯立(a×m=0,b×m=0),得出xyz之間的關係(因為三個未知數只有兩個方程,所以只能得出兩兩間關係),令乙個值為1,得出另兩個的值,就有了該面的乙個法向量。
在空間直角座標系中,如何求乙個向量的法向量?如何求乙個平面的法向量?
3樓:匿名使用者
沒有定義乙個向量的法向量
只有兩個向量的垂直定義
兩個向量垂直,則它們對應分量的乘積之和等於0如 (x1,x2,x3) 與 (2,-6,-10) 垂直 <=> 2x1-6x2-10x3 = 0
平面的法向量即與兩個已知向量都垂直的向量, 有無窮多, 解方程即得
4樓:匿名使用者
3、在平面內找出兩個不共線的向量,記為a=(a1,a2, a3) b=(b1,b2,b3)
4、根據法向量的定義建立方程組1n*a=0 2n*b=0
5、解方程組,取其中一組解即可。
在空間直角座標系中,為什麼xoy面的法向量不能設成(x,y,1)? 5
5樓:匿名使用者
一堂公開課《空間向量的座標運算》的改進和反思
前一階段聽了一位老師的試教課,然後與數學教研組的老師一起討論並提出了思考和建議,授課老師參考建議在後面的公開課中作了改進並取得了較好的教學效果。下面將各環節的思考和改進的過程作乙個簡單的呈現,並簡述對改進過程的反思。
一、引入
1、原來的教學安排:
複習:(1)
(2)平面向量:由 可以得到其座標表示
2、思考:能否創設有前後呼應有模擬思想有數形結合思想而又切入知識結構實質的問題情境,使學生想要有空間直角座標系並能建立?兩個引入的情境設定建議:
一是螞蟻的位置確定或者是影子蚊子的位置確定;二是模擬的問題情境,給出平面、空間幾何問題,解決平面幾何問題可以借助於平面向量的座標運算,那麼解決空間幾何問題呢?
(問題2、)
3、改進後的教學設計:
(1)問題1、正方形abcd中,e、f分別為bs與dc中點,求證:ae bf。(可借助平面向量的座標運算來解決平面幾何問題)
學生有幾何和座標運算兩種方法,教師通過提問強調後一方法的實質:數形結合,其中通過向量的在座標系下的座標表示來鏈結;再讓學生歸納後一解法的三個環節,一是建系,二是點、向量的座標表示,三是由運算來解決問題。
(2)問題2、在稜長為a的正方體abcd-a1b1c1d1中,e、f分別為稜ab、bc的中點,求證: 。
自然讓學生模擬問題1的解決想到需要通過空間向量的座標運算來解決立幾問題,從而引出課題,並讓學生明確需要解決的三個環節:建系,點和向量的座標確定,向量的座標運算和運用。
〖反思〗這樣的設計能讓學生在數形結合思想引領下,模擬平面幾何問題中平面向量通過座標系而轉化為座標運算來解決,因此學生探索中有了一條思維暗線,也能自然悟出需要建立空間直角座標系,也能模擬清晰得到本課的線索:需要建立空間座標系---如何建立空間座標系---點的座標的得到---向量的座標表示---向量的座標運算---運用解決立幾問題,而且平面向量的思路始終引導全過程。然後在此主線引領下一步步自然。
二、概念教學
(一)空間座標系的建立
1、原來的教學安排:
規定:(1)三個兩兩垂直的單位向量
(2)x、y、z軸
(3)如何畫:1350,垂直,用手指(課本上的右手系)
2、思考:為何要有三條軸?為何要兩兩垂直?如何確定向量的座標?為何要這麼規定三軸間的次序?其他次序不允許嗎?
3、改進後的教學設計:模擬平面向量問題解決中,選擇特殊基底即互相垂直的兩個向量作為基底建立平面直角座標系,將平面向量轉化為數;從而也選擇空間的特殊基底即兩兩垂直的三個向量作為基底建立空間直角座標系;同樣模擬得到空間直角座標系的圖形、符號語言。
〖反思〗通過這樣的引導,學生能模擬平面向量的座標建立和表示,自然地得到空間直角座標系的建立。這也與引入能較好地相銜接。
(二)點的座標確定、向量的座標表示
1、原來的教學安排:
(1)m點作其在xoy平面上的射影(並直接用多**演示)
(2)例1、稜長為a的正方體abcd-a1b1c1d1中,e、f分別是bb1和dc的中點,建立如圖所示的空間直角座標系,試寫出圖中各點的座標。
(3)例2、點b是a(3,4,5)在平面xoy內的射影,求 、 。
此問題是先有座標再去找點,通過多**在畫點過程中可以作出如圖所示長方體。同時可以將點的座標與向量座標表示相聯絡而引入向量座標。
(4)向量的座標表示:如圖(3)給定空間直角座標系和向量 ,設 為坐
標,則存在唯一的有序實陣列 ,使 ,有序實陣列 叫作向量 在空間直角座標系 中的座標,記作 .
2、思考:點的座標表示、如何建立空間直角座標系,還有建系的多樣性,如何找出各卦限中點的座標向量的座標表示等,都需要學生的體驗和感悟,同時在此探索過程中,模擬的思想可以讓學生更多地運用並幫助其探索。
3、改進後的教學設計:
(1)教師提出問題:如何確定乙個點在空間直角座標系中的座標?然後引導性地提出另一問題:
平面直角座標系的二維座標是如何確定的?在此基礎上啟發學生同樣通過平行投影的方法確定空間點的座標。
(2)例1中讓學生自己去確定並建立空間座標系,然後找出各點的座標,並將不同的建系方式進行比較(學生動手操作並將不同方法用實物投影來演示)。
(3)在例題的分析中由點找座標和由座標找點時,將輔助長方體與平面直角座標系中的矩形相模擬。另外,教師提出:如果將a(3,4,5)改為(-3,4,5)或加上其它的負號呢?
(4)向量的座標表示:教師首先提出:平面向量的座標是如何確定的?
學生回答後接著追問:它與點的座標有何關係?起點不在原點的向量如何得到它對應的座標?
在學生理解並得出空間向量的座標表示後,教師給出練習問題:寫出下列各題中向量的座標: (1) (2) (3)
〖反思〗通過教師恰當的問題引導,學生能運用模擬思想,利用平行投影確定點(平面向量)座標的方法,即將平面向量分解為與座標向量分別共線的兩個點(向量),讓學生體會降維思想(由二維到一維)。也運用降維的思想,先將空間點(向量)投影到座標平面(三維到二維),再進一步投影到座標軸方向(由二維到一維),從而確定座標。
座標系的不同建立方式得到不同的點的座標的對應並作比較,能讓學生理解座標系建立的多樣性,明確點的座標確定需要座標系建立的前提,也是數形轉化的前提。將輔助長方體與平面直角座標系中的矩形相模擬,更有助於學生對三維座標的理解。針對上面遇到問題都是座標為正的情形,教師對座標的正負進行了變式,讓學生更清楚各位置點的空間座標確定,也有助於學生借助長方體法表示點的三維座標的運用。
通過問題的引導,學生能有效地從兩個方面理解向量座標的定義:一是將空間向量座標定義與平面向量座標定義、空間向量在一般基底下的分解相模擬來理解。二是將任意空間向量通過平移轉化到平移到以原點為起點,再以其終點座標作為該向量的座標。
安排一定的有正有負的向量座標變式練習,能讓學生對向量的座標表示逐步熟悉。
三、空間向量的座標運算
1、原來的教學安排:
(1)運算法則:若 , ,
則 ,, ,,
(2)問題:1若 , ,那麼 ,對嗎? .
2若 , ,則 .
(3)簡單運用
練習、已知 ,若 平行,求 。
2、思考:
(1)在運算法則的教學中,為何需要運算法則、怎麼得到運算法則都感覺不夠自然。
(2)練習的主要作用應是讓學生熟悉運算法則,而此問題還要學生考慮係數為零的情況,主要方向不夠突出。
3、改進後的教學設計:
(1)教師先提出如下問題:已知 求 .讓學生感覺在定義了向量的座標後需要有向量的座標運算。
(2)教師再提出問題:如果問題中的向量是 , 呢?引導學生模擬平面向量座標運算法則得到空間向量的座標運算法則,......
(3)在由運算法則得到 後,教師再提出問題:請判斷 、 是否平行?這兩向量是否垂直?最後由此解決問題:若 , ,那麼 , ,對嗎?
〖反思〗讓學生體會知識發展的需要並參與知識的形成過程,能有效地幫助學生在原有認知結構基礎上通過自主**發展和形成新的知識結構,也更能讓學生深入理解知識並能掌握蘊含其中的方法和思想。
四、知識運用
1、原來的教學安排
例3:如圖,在稜長為a的正方體 中,e、f分別是稜ab、bc的中點,求證:a1f⊥c1e
變式1:如果 e、f分別是稜ab、bc的動點,且ae=bf,求證:a1f⊥c1e
變式2:a1f⊥平面oc1e2、思考:如何與引入更好地串聯,還有如何突出運用向量的座標運算解決問題。
3、改進後的教學設計:
引導學生合適地建系並運用向量的座標運算解決問題。然後引導學生對此方法和通過線面垂直或是三垂線定理法證明本問題的方法進行比較,在得出簡繁後突出數形結合的運用。在變式2教學後提出還有更多的如麵麵垂直、線線和線面及麵麵平行、一般的位置關係下的求角等問題呢?
〖反思〗由於有前面的為何需要建系、如何合適地建系的鋪墊,也有模擬平面方法解決空間問題的主線,學生能自然地模擬運用平面向量的座標運算解決平幾問題的方法。通過引導學生對兩種方法進行比較,幫助學生理解空間向量座標運算的實質---將幾何問題通過向量轉化為座標運算,從而用代數方法加以解決,更是很好地把握住了數形結合思想的滲透點。最後的問題提出一方面明確了空間向量的座標運算的更多學習目標,也為下面的內容學習作好了鋪墊。
五、小結
1、原來的教學安排
(1)什麼是空間直角座標系?
(2)空間向量、點在空間直角座標系中的座標
(3)空間向量運算在立體幾何問題解決中的應用步驟
2、思考:應該增加這些內容中蘊含的數形結合思想和**上述知識方法中的類
比思想。
3、改進後的教學設計:
(1)為何需要建立空間座標系?如何合適地建立?
(2)有了座標系,點、向量如何與數對應?向量的運算呢?
(3)在本課的學習中,你覺得是什麼方法或思想在引導我們獲得知識的?
(4)你認為我們還需要解決哪些問題?
〖反思〗在一節課的歸納小結中,應該包含知識的線索:從需要借助代數方法解
決空間幾何問題,到建立空間座標系,再到將點和向量與點的座標相對應,再到利用座標運算解決立幾問題。也包含著蘊含其中的思想方法線索:模擬平面向量的座標運算解決平面幾何問題的方法,借助代數方法解決幾何問題的數形結合思想。
最後提出的問題更能引導學生在上述思想方法的線索下將前後的學習融為一體。
課堂教學是教師教學研究的主要內容,在公開課後的分析會上,我們進一步將整個過程進行了回顧和比較,通過反思,教師們感覺到通過這樣的思考和改進的過程,我們共同得到了提高
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