導數與微分有什麼區別求真相微分和導數有什麼區別

2021-03-06 22:36:26 字數 5087 閱讀 5349

1樓:手機使用者

導數:如果是在某點處的導數的話,那導數有幾何意思,那就是在該點處的切線的斜率。如果是函式和導數,就是因變數y對自變數x的變化率。

結合後面的微分知識知道,導數其實是微商,即因變數的增量與自變數的增量的比值的極限,寫成公式就是f'(x)=dy/dx, 微分:如果函式在某點處的增量可以表示成 △y=a△x+o(△x) (o(△x)是△x的高階無窮小) 且a是乙個與△x無關的常數的話,那麼這個a△x就叫做函式在這點處的微分,用dy表示,即dy=a△x △y=a△x+o(△x),兩邊同除△x有 △y/△x=a+o(△x)/△x,再取△x趨於0的極限有 lim△y/△x=lim[a+o(△x)/△x]=lima+lim[o(△x)/△x]=a+0 f'(x)=lim△y/△x=a 所以這裡就揭示出了,導數與微分之間的關係了, 某點處的微分:dy=f'(x)△x 通常我們又把△x叫自變數的微分,用dx表示 所以就有 dy=f'(x)dx.

證明出了微分與導數的關係 正因為f'(x)=dy/dx,所以導數也叫做微商(兩個微分的商)

2樓:匿名使用者

對乙個函式積分和對它微分,這兩個運算互為逆運算。 求原函式的過程是不定積分運算;求導的過程是微分運算。 乙個函式的微分與它的導數也略有區別,微分是函式的線性增量(變化),而導數是函式的變化率(也就是函式值變化/自變數變化)。

3樓:龍█哥█萌█稘

導數描述函式變化率,微分是函式改變量的線性主要部分,導數是函式微分與自變數微分的商

微分和導數有什麼區別

4樓:綠鬱留場暑

導數和微分的區別

乙個是比值、乙個是增量。

1、導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。

2、微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。

擴充套件資料:

設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不隨δx改變的常量,但a可以隨x改變),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:o讀作奧密克戎,希臘字母)那麼稱函式f(x)在點x是可微的。

且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。

通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函式因變數的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。

因此,導數也叫做微商。

當自變數x改變為x+△x時,相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x),如果存在乙個與△x無關的常數a,使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差是△x→0關於△x的高階無窮小量,則稱a·△x是f(x)在x的微分,記為dy,並稱f(x)在x可微。一元微積分中,可微可導等價。

記a·△x=dy,則dy=f′(x)dx。例如:d(sinx)=cosxdx。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的,在微小區域性可以用直線去近似替代曲線,它的直接應用就是函式的線性化。微分具有雙重意義:它表示乙個微小的量,因此就可以把線性函式的數值計算結果作為本來函式的數值近似值,這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

推導設函式y = f(x)在某區間內有定義,x0及x0+△x在這區間內,若函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為δy = aδx + o(δx),其中a是不依賴於△x的常數, o(δx)是△x的高階無窮小,則稱函式y = f(x)在點x0是可微的。

aδx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分,記作dy,即:dy=aδx。微分dy是自變數改變量△x的線性函式,dy與△y的差是關於△x的高階無窮小量,我們把dy稱作△y的線性主部。

得出: 當△x→0時,△y≈dy。

導數的記號為:(dy)/(dx)=f′(x),我們可以發現,它不僅表示導數的記號,而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變數的增量等於自變數的微分),還可表示為dy=f′(x)dx。

 [4]

幾何意義

設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲 線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δx|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

5樓:王王王小六

1、定義不同

導數又名微商,當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生乙個增量δx時,函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數。

微分在數學中的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變量的線性主要部分。

2、本質不同

導數是描述函式變化的快慢,微分是描述函式變化的程度。導數是函式的區域性性質,乙個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。而微分是乙個函式表示式,用於自變數產生微小變化時計算因變數的近似值。

3、幾何意義不同

導數的幾何意義是切線的斜率,微分的幾何意義是切線縱座標的增量。因此微分可以用來做近似運算和誤差估計。最簡單的一元情況下,導數是乙個確定的數值,幾何意義是切線斜率,物理意義是瞬時速度。

6樓:匿名使用者

(1)起源(定義)不同:導數起源是函式值隨自變數增量的變化率,即△y/△x的極限。微分起源於微量分析,如△y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和,其線性主部稱微分。

當△x很小時,△y的數值大小主要由微分a△x決定,而o(△x)對其大小的影響是很小的。

(2)幾何意義不同:導數的值是該點處切線的斜率,微分的值是沿切線方向上縱座標的增量,而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量。可參考任何一本教材的圖形理解。

(3)聯絡:導數是微分之商(微商)y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx,這裡公式本身也體現了它們的區別。

(4)關係:對一元函式而言,可導必可微,可微必可導。

7樓:一向都好

導數是函式上切點的斜率

k=tan(y/x)

而這裡的y是△y減去微小的部分

剩下的就是dy,

所以k=dy/dx

這裡的dx就是△x,並沒有像△y那樣,還要減去一小部分如圖(dy就是微分,斜率就是導數)

8樓:匿名使用者

導數是△y/△x的近似

微分是△y的近似

這樣好理解了嗎

9樓:史朝東樂安

從幾何意義上說,導數是

曲線某點切線的

斜率,而

微分則是某點切線

因變數y的微小增量。

從可導或可微方面說,可導即可微,可微即可導。

10樓:匿名使用者

對一元函式而言,微分與導數可以看作是一致的,可微必可導,可導必可微,但對於多元函式來說,就不一致了,這時是可微必可導,可導不一定可微。

導數和微分的區別?

11樓:月下者

導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。

導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標變化率和橫座標變化率的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得δx以後,縱座標取得的增量。

擴充套件資料

微分在數學中的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變量的線性主要部分。

微積分的基本概念之一。

設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。

如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:o讀作奧密克戎,希臘字母)那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。

函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。

參考資料

12樓:匿名使用者

導數和微分的區別乙個是比值、乙個是增量。

1、導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。

2、微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。

擴充套件資料:

微分應用:

1、我們知道,曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直,微分可以求出切線的斜率,自然也可以求出法線的斜率。

2、假設函式y=f(x)的圖象為曲線,且曲線上有一點(x1,y1),那麼根據切線斜率的求法,就可以得出該點切線的斜率m:m=dy/dx在(x1,y1)的值,所以該切線的方程式為:y-y1=m(x-x1)。

由於法線與切線互相垂直,法線的斜率為-1/m且它的方程式為:y-y1=(-1/m)(x-x1)

3、增函式與減函式

微分是乙個鑑別函式(在指定定義域內)為增函式或減函式的有效方法。

鑑別方法:dy/dx與0進行比較,dy/dx大於0時,說明dx增加為正值時,dy增加為正值,所以函式為增函式;dy/dx小於0時,說明dx增加為正值時,dy增加為負值,所以函式為減函式。

4、變化的速率

微分在日常生活中的應用,就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。

在t=3時,我們想知道此時水加入的速率,於是我們算出dv/dt=2/(t+1)^2,代入t=3後得出dv/dt=1/8。

所以我們可以得出在加水開始3秒時,水箱裡的水的體積以每秒1/8公升的速率增加。

微分和求導有什麼區別微分和導數有什麼區別

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