1樓:阮桂月賽佁
將特解y=ex+(
1+x)e-x代入原方程得:
ex+(x-1)e-x+α內(ex-xe-x)+β[ex+(1+x)e-x]=γe-x
即:[(β-γ-1)+(-α+β+1)x]e-x+(1+α+β)ex=0
∴?α+β+1=容0
β?γ?1=0
α+β+1=0
解得:α=0,β=-1,γ=-2
所以,原方程為:y″-y=-2e-x,
其特徵方程為:r2-1=0
解得:r1=1,r2=-1
因此原方程對應的齊次線性微分方程的通解為:y=k1ex+k2e?x,(k1,k2為任意常數)
故原方程的通解為:
y=k1ex+k2e?x+ex+(1+x)e?x=c1ex+c2e?x+xex.(c1,c2為任意常數)
2樓:張廖葉帆諶赫
由:y=e2x+(1+x)ex得:
y′=2e2x+(2+x)ex,
y″=4e2x+(3+x)ex,將y,y′,y″代入原微版分方程,整理權可得:(4+2α+β)e2x
+(1+α+β)xex+(3+2α+β-γ)ex=0,①
因為:y=e2x+(1+x)ex是方程的乙個特解,所以對於任意有定義的x,①式恆成立,所以有:
4+2α+β=0
1+α+β=0
3+2α+β?γ=0
.解得:α=-3,β=2,γ=-1,故原微分方程的具體表示式為:
y″-3y′+2y=-ex,其對應齊次方程的特徵方程為:
λ2-3λ+2=0,求得特徵值為:λ1=1,λ2=2,對應齊次方程的通解為:.y
=c1ex+c2e2x,又因為:非齊次項為-ex,且λ=1為特徵根,所以:可設原微分方程的特解為
y*=axex,代入原微分方程可得:a=1,所以:y*=xex,由線性微分方程解的結構定理得原方程的通解為:
y=.y
+y*=c1ex+c2e2x+xex.
設二階常係數微分方程y"+ay'+βy=γe∧x有乙個特解為y=e∧2x+(1+x)e∧x 20
3樓:就不想回那裡
由:y=e2x+(
1+x)ex得: y′=2e2x+(2+x)ex, y″=4e2x+(3+x)ex,將y,y′,y″代入原微分方程,整回理可得:(答4+2α+β)e2x +(1+α+β)xex+(3+2α+β-γ)ex=0,① 因為:
y=e2x+(1+x)ex是方程的乙個特解,所以對於任意有定義的x,①式恆成立,所以有: 4+2α+β=0 1+α+β=0 3+2α+β?γ=0 .解得:
α=-3,β=2,γ=-1,故原微分方程的具體表示式為: y″-3y′+2y=-ex,其對應齊次方程的特徵方程為: λ2-3λ+2=0,求得特徵值為:
λ1=1,λ2=2,對應齊次方程的通解為: . y =c1ex+c2e2x,又因為:
非齊次項為-ex,且λ=1為特徵根,所以:可設原微分方程的特解為 y*=axex,代入原微分方程可得:a=1,所以:
y*=xex,由線性微分方程解的結構定理得原方程的通解為: y=. y +y*=c1ex+c2e2x+xex.
設二階常係數線性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的乙個特解為y=e^(2x)+(1+x)e^x試確定常數αβγ,並求通解
4樓:匿名使用者
^y=e^(2x)+(1+x)e^x,
∴y'=2e^(2x)+(2+x)e^x,y''=4e^(2x)+(3+x)e^x,代入原方程得
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x,
∴(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)-γ]e^x=0,對任意x都成立,
∴4+2α+β=0,
3+2α+β-γ=0,
1+α+β=0.
解得α=-3,β=2,γ=-1.
∴原方程是y''-3y'+2=-e^x,
特徵根是1,2,其通解是y=c1e^(2x)+c2e^x+e^(2x)+(1+x)e^x.
5樓:匿名使用者
4e^(2x)+e^x+e^x+(1+x)e^x+α[2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x]+β
[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^xe^(2x)(4+2α+β)+e^x[3+2α+β-γ]+xe^x(1+α+β)=0
4+2α+β=0 (1)
3+2α+β-γ=0 (2)
1+α+β=0 (3)
(1-3) -> α=-3 代入內(3) -> β=2 代入(2) -> γ=-1
原方程變容
為:y''-3y'+2y=-e^x
其通解: y=c1e^x+c2e^(2x)+xe^x
設二階常係數線性微分方程y″+αy′+βy=γex的乙個特解為y=e2x+(1+x)ex,試確定常數α、β、γ,並求
6樓:中色
由:copyy=e2x+(1+x)
baiex得:
y′=2e2x+(2+x)ex,
y″=4e2x+(3+x)ex,
將y,y′,y″代入
du原微分方程,整理可得zhi:
(4+2αdao+β)e2x +(1+α+β)xex+(3+2α+β-γ)ex=0,①
因為:y=e2x+(1+x)ex是方程的乙個特解,所以對於任意有定義的x,①式恆成立,
所以有:
4+2α+β=0
1+α+β=0
3+2α+β?γ=0
.解得:α=-3,β=2,γ=-1,
故原微分方程的具體表示式為:
y″-3y′+2y=-ex,
其對應齊次方程的特徵方程為:
λ2-3λ+2=0,
求得特徵值為:λ1=1,λ2=2,
對應齊次方程的通解為:.y
=cex+c
e2x,又因為:非齊次項為-ex,且λ=1為特徵根,所以:可設原微分方程的特解為 y*=axex,代入原微分方程可得:a=1,
所以:y*=xex,
由線性微分方程解的結構定理得原方程的通解為:
y=.y
+y*=cex
+ce2x+xex.
設二階常係數線性微分方程y″+αy′+βy=γe-x的乙個特解為y=ex+(1+x)e-x,則此方程的通解為______
7樓:天使
將特解y=ex+(1+x)e-x代入原方程得:
ex+(x-1)e-x+α(ex-xe-x)+β[ex+(1+x)e-x]=γe-x
即:[(β-γ-1)+(-α+β+1)x]e-x+(1+α+β)ex=0
∴?α+β+1=0
β?γ?1=0
α+β+1=0
解得:α=0,β=-1,γ=-2
所以,原方程為:y″-y=-2e-x,
其特徵方程為:r2-1=0
解得:r1=1,r2=-1
因此原方程對應的齊次線性微分方程的通解為:y=kex+ke
?x,(k1,k2為任意常數)
故原方程的通解為:
y=kex+k
e?x+ex
+(1+x)e
?x=cex
+ce?x+xe
x.(c1,c2為任意常數)
如果二階常係數非齊次線性微分方程y″+ay′+by=e^-xcosx,有乙個特解y*=e^-x(xcosx+xsinx),則a,b=( )
8樓:匿名使用者
^y*=e^bai-x(xcosx+xsinx)=xe^(-x)(cosx+sinx)
xe^(-x)(cosx+sinx)比e^(-x)cosx多dux
由x得知特zhi徵方程dao
專r²+ar+b=0的根
屬為r1,r2為虛根
9樓:篤山村
我也知道它是虛根啊!問題在於-1哪兒來的啊
二階線性微分方程y''-y=e的-x次方+e的x次方的特解形式為(詳情看圖)
10樓:匿名使用者
求為分方程 y''-y=e^(-x)+e^x的通解
解:齊次方程y''-y=0的特徵方程 r²-1=0的根:r₁=-1;r₂=1;
因此齊次方程的
回通解為:y=c₁e^答(-x)+c₂e^x;
設其特解為:y*=ax[e^(-x)+e^x]
則y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得:
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1,即a=-1/2;故特解為:y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解為:y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x].
【特解與齊次方程的特徵方程的根有關,故先要求齊次方程的通解。】
11樓:科技數碼答疑
k^2-1=0,得出k=1和-1
設特解為(ax+b)e^(-x)+(cx+d)e^x
12樓:匿名使用者
axe^(x)+bxe^(-x)+ce^x+de^(-x);
這是所謂的共振的情形!
二階常係數非齊次線性微分方程的特解
設二階微分方程x ax bx f t 非齊次項f t p t e t 其中a b為常數,p t 為t的n次多項式。若 為方程內的k重特徵根,則特解的容 形式為x t t k q t e t 其中q t 為待定n次多項式,k 0,1,2。對於線性常微分方程,每乙個具體的解都是其特解。可以用眼睛看,也可...
求解二階常係數非齊次線性微分方程的步驟
特徵bai方程 r 2 r 2 0 特徵根 r1 1,r2 2 y y 2y 0 的通解 duy c1 e zhix c2 e 2x 原方程特解 dao設為 y x ax b e xy y 代入版原方程,確定權 a 1 b 4 3原方程通解為 y c1 e x c2 e 2x x2 4x 3 e x...
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bai解 齊次方程y y 0 的特du徵方程為zhir 2 1 0,其通解yc c1cosx c2sinx。又,dao非齊次方程中,內f x x sinx是多項式函式容p x x和三角函式sinx的組合。設其特解為y c1cosx c2sinx ax 2 bx c dsin2x,代入原方程,解得,a...