為什麼二階齊次線性微分方程有兩個線性無關的特解

2021-03-11 03:16:07 字數 2264 閱讀 9418

1樓:匿名使用者

因為如果y1與y2線性相關,則存在常數k,使得y2=ky1,所以y=c1y1+c2y2=[c1+kc2]y1,記c=c1+kc2,則y=c1y1+c2y2=cy1,不符合二階線性齊次微分方回程的通解的答

結構。微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。微分方程的解是乙個符合方程的函式。而在初等數學的代數方程,其解是常數值。

2樓:匿名使用者

因為有兩個係數任意兩個特解做組合的結果不是方程的通解,說明是維數不夠,所以應該是兩個線性無關的才行

3樓:shine丁麗

一般二階齊次微分方程的通解是由兩個線性無關的特解組合而成,由特徵方程來確定特解,然後再進行組合。而特徵方程的解有兩個:1、兩個不相等的根2、兩個相等的根3、一對共軛復根。

因此組成其通解特解有兩個

4樓:匿名使用者

你可以對該方程降階,就可以得到乙個一階二元的微分方程組,而一階二元的微分方程組是有兩個線性無關的特解的,因此原方程有兩個線性無關的特解。其實你可以直接從常數變易法的理論推導中看出來的。

5樓:俟來官新曦

如果y1與y2線性相關復,則

制存在常數k,使得y2=ky1,所以y=c1y1+c2y2=[c1+kc2]y1,記baic=c1+kc2,則y=c1y1+c2y2=cy1,不符合二階du線性齊次zhi微分方程的通解的dao結構。

二階常係數非齊次線性微分方程特解怎麼設?

6樓:demon陌

較常用的幾個:

1、ay''+by'+cy=e^mx

特解    y=c(x)e^mx

2、ay''+by'+cy=a sinx + bcosx

特解    y=msinx+nsinx

3、ay''+by'+cy= mx+n

特解    y=ax

二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式,即y''+py'+qy=0時,稱為二階常係數齊次線性微分方程。

若函式y1和y2之比為常數,稱y1和y2是線性相關的;若函式y1和y2之比不為常數,稱y1和y2是線性無關的。特徵方程為:λ^2+pλ+q=0,然後根據特徵方程根的情況對方程求解。

擴充套件資料:

通解=非齊次方程特解+齊次方程通解

對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

其中q(x)是與p(x)同次的多項式,k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根(上文有提),依次取0,1或2.

將y*代入方程,比較方程兩邊x的同次冪的係數(待定係數法),就可確定出q(x)的係數而得特解y*。

多項式法:

設常係數線性微分方程y''+py'+qy =pm

f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ,這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。

公升階法:

設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),當f(x)為多項式時,設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此時,方程兩邊同時對x求導n次,得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此時,y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1),依次公升階,一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可得到方程的乙個特解y(x)。

7樓:匿名使用者

(1)y」+3y』+2y=xe^-x

特解 y*=ax+b(這是錯的,最起碼得有個e^-x吧?)(2)y」+3y』+2y=(x² + 1)e^-x特解y*=x(ax²+bx+c)e^-x

-------------------------------1、xe^-x前的多項式為x,所以設qm(x)是qm(x)=ax+b,由於-1是特徵方程的單根,所以特解為

y*=x(ax+b)e^(-x)

2、(x²+1)e^-x前的多項式為二次,所以設qm(x)是qm(x)=ax²+bx+c,由於-1是特徵方程的單根,所以特解為y*=x(ax²+bx+c)e^-x

把特解帶入原微分方程,待定係數法求出引數a、b、c。

二階常係數非齊次線性微分方程的特解

設二階微分方程x ax bx f t 非齊次項f t p t e t 其中a b為常數,p t 為t的n次多項式。若 為方程內的k重特徵根,則特解的容 形式為x t t k q t e t 其中q t 為待定n次多項式,k 0,1,2。對於線性常微分方程,每乙個具體的解都是其特解。可以用眼睛看,也可...

求解二階常係數非齊次線性微分方程的步驟

特徵bai方程 r 2 r 2 0 特徵根 r1 1,r2 2 y y 2y 0 的通解 duy c1 e zhix c2 e 2x 原方程特解 dao設為 y x ax b e xy y 代入版原方程,確定權 a 1 b 4 3原方程通解為 y c1 e x c2 e 2x x2 4x 3 e x...

大學數學二階常係數非齊次線性微分方程寫的越詳細越好,因為我不太會,謝謝

這道題你是想寫特解形式還是要求通解 看字是女生把!等我下,馬上給你答案 數學三考不考二階常係數非齊次線形方程 考。數學大綱裡要求的內容。顯然要考啊 而且還是重點 求解二階常係數非齊次線性微分方程的通解,詳解,謝謝!特徵方程 2r 2 r 1 0 2r 1 r 1 r 1 2,r 1 所以齊次通解 y...