函式奇偶性

1樓：匿名使用者

(1)x屬於r

（2）f(-x)=lg(-x+√x^2+1)-f(x)=-lg(x+√x^2+1)lg[1/(x+√x^2+1)]=lg(-x+√x^2+1)=f(-x)

所以為奇函式

（3）設x1,x2為定義域上的任意兩個值，且x1>x2則（x1+√x1^2+1）-（x2+√x2^2+1）=x1-x2+√x1^2+1-√x2^2+1>0

x1+√x1^2+1>x2+√x2^2+1>0（x1+√x1^2+1）/（x2+√x2^2+1）>1f(x1)-f(x2)=lg（x1+√x1^2+1）/（x2+√x2^2+1）>lg1=0

f(x1)>f(x2)

所以為增函式

2樓：

1）首先x+√x^2+1>0

所以√x^2+1>-x

當x≥0時左邊≥1，右邊≤0，上式顯然成立

x<0時，兩邊平方得到x^2+1>x^2，1>0，成立

所以定義域為r

2）由平方差公式，(√(x^2+1)+x)(√(x^2+1)-x)=1

所以√x^2+1+x和√x^2+1-x互為倒數

f(-x)=lg(√(x^2+1)-x)=lg[(√(x^2+1)+x)^-1]

=-lg(√(x^2+1)+x)=-f(x)

所以是奇函式

（互為倒數的兩個數，它們的對數互為相反數，因為乙個是另乙個的-1次方，把-1提到對數外面就變成相反數了）

3）x≥0時，如果x增大，則x+√（x^2+1)顯然增大，所以lg(x+√x^2+1)也增大，所以f(x)在[0,+∞)上遞增

因為f(x)是奇函式，所以f(x)在(-∞，0]上也遞增

因為f(x)在r上遞增

3樓：匿名使用者

解： 1.函式f(x)=lg[x+√（x^2+1)]有意義只需x+√(x^2+1）>0

因為x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]又x^2+1>x^2恆成立

故√(x^2+1）>x

從而√(x^2+1）-x>0

故x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]>0恆成立故f(x)的定義域為r.

2.f(x)=lg[x+√(x^2+1)]f(-x)=lg[-x+√((-x)^2+1)]=lg[-x+√(x^2+1)]

f(x)+f(-x)=lg=lg[(x^2+1)-x^2]=lg1=0

所以f(-x)=-f(x)

且f(x)的定義域是r

所以f(x)是奇函式

3.設g(x)=x+√(x^2+1)

設x1√x1^2=|x1|≥-x1，

所以√(x1^2+1)+x1>0

同理，√(x2^2+1)+x2>0

所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0又x1-x2<0，

√(x1^2+1)+√(x2^2+1)>0所以g(x1)-g(x2)<0

g(x1)

所以g(x)在定義域內是增函式

又h(x)=lgx也是增函式

所以復合函式f(x)=h[g(x)]也是增函式即f(x)=lg[x+√（x^2+1)]為增函式.

4樓：

(1)x≥0時，x+√x^2+1＞0

x<0時，x+√x^2+1＞0

故f(x)的定義域為r

(2)f(-x)=lg(-x+√x^2+1)f(x)+f(-x)=lg[(x+√x^2+1)(-x+√x^2+1)]=lg(x^2+1-x^2)=lg1=0

所以f(x)+f(-x)=0

f(x)為奇函式

（3）令x1>x2

f(x1)-f(x2)=lg[(x1+√x1^2+1)/(x2+√x2^2+1)]

證得其大於0即可

5樓：匿名使用者

1 x+√x^2+1恆大於0 所以定義域為r2 f(-x)=lg(-x+√x^2+1)=lg(1/(x+√x^2+1))=-lg(x+√x^2+1)=-f(x)

所以奇函式

3 f(0)=0 若x〉0則x+√x^2+1〉1 則f(x)〉0 同理若x<0 則f(x）=-f(-x）<0 很明顯 正半軸上的值肯定大於負半軸上的值（正大於負）那麼只需比較同軸上的2點大小關係即可

f(x)=lg(x+√x^2+1)就其lg本身是增函式，不妨令g(x)=x+√x^2+1 只需判斷g（x）的單調性 不妨設x1>x2〉0 g(x1)-g(x2)=（x1-x2）+√x1^2-√x2^2）〉0 所以在正半軸的2個點 x越大對應的f(x)也越大 同理x1

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