1樓:科學實驗家
a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)=1a^2-a^2b^2+b^2-a^2b^2=1a^2+b^2=1
所以a^2+b^2=1
已知正實數a,b滿足a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1,求證: a^2+b^2=1,如果將√(1-a^2)改為√(2-a^2)其結果如何
2樓:匿名使用者
【【注】】
該題用「柯西不等式」證明較簡單。
請注意使用「柯西不等式」時,一些注意事項。
易知,1-a2≥0,且1-b2≥0.
同時,a>0,b>0
由題設條件及「柯西不等式」可得:
1=[a2 +(1-a2)]×[(1-b2)+b2]≥[a√(1-b2)+b√(1-a2)]2=1.
∴[a2+(1-a2)]×[(1-b2)+b2]=[a√(1-b2)+b√(1-a2)]2.
∴此時,「柯西不等式」取得等號。
由「柯西不等式」取得等號的條件可知,此時必有:
a2/(1-b2)=(1-a2)/b2.
∴a2b2=(1-a2)(1-b2).
整理可得:a2+b2=1.
證畢!【【附】】
按lz的意思,僅僅改動其中乙個條件:
把√(1-a2)改為√(2-a2)
[(2-a2)+(1-b2)]×[b2+a2]≥[b√(2-a2)+a√(1-b2)]2=1.
∴[3-(a2+b2)](a2+b2)≥1.
(a2+b2)2-3(a2+b2)+1≤0.
[(a2+b2)-(3/2)] 2≤5/4
|(a2+b2)-(3/2)| ≤(√5)/2
(3-√5)/2≤a2+b2≤(3+√5)/2.
即此時a2+b2的取值範圍是[(3-√5)/2,(3+√5)/2]
∴a2+b2的值有可能為1.
3樓:匿名使用者
^1a>0,b>0
a√版(1-b^權2)+b√(1-a^2)=1a<1,b<1
設a=sinu b=sinv
0或sin(u+v)=sin150 cos(u+v)=√3/2或cos(u+v)=-√3/2
a^2+b^2=2(sinu^2+sinv^2)=2-(cos2u+cos2v)=2-(cos(u+v)cos(u-v))>2-cos(u+v)
a^2+b^2>1
4樓:電燈劍客
如果bai是初中題,直接移項平方du
,把zhib當成已知數解出a,然後dao褪根號。
如果是高中專
題,屬用三角代換做,但是不要止步於三樓的結果。
比如sin(u+v)=1/2,然後用sinu = sin(pi/6-v)以及sinu = sin(5pi/6-v)建立a和b滿足的等式,如果要合併兩種情況就再移項平方得到四次的等式。
如果是大學題,令c=√(2-a^2), d=√(2-b^2),化成多項式方程組之後利用sylvester行列式消去c和d即可。
補充:既然是高中生,不妨用三角變換。cauchy不等式雖然可以做,但是要猜出最後等式的形式才方便。
a=(√2)cosx, b=cosy,解出x+y=**i/4或x+y=pi/4即可。給你乙個參***
(a-b)^2+b^2=1或(a+b)^2+b^2=1,如果要合併的話就是(a^2+2b^2-1)^2-4a^2b^2=0
5樓:匿名使用者
樓上bai的方法很好
,還有的du方法:1、數形結合(圓zhi內托勒密dao定理+同一法)2、a√
版1-b2=1-b√1-a2...... 3、柯西不等權式(見樓上)4、均值不等式a√1-b2+b√1-a2≤(a2+1-b2)/2+(b2+1-a2)/2=1,由題意,等號成立,根據均值不等式,a=√1-b2,b=√1-a2證畢。5、三角代換a=sinα,b=sinβ帶入即可。
6樓:匿名使用者
改了的話值就不確定了
已知實數a,b滿足a√ (1-b^2)+b√ (1-a^2)=1
7樓:
^設向量baim=(a,√ (1-a^du2)),向量n=(√ (1-b^2),a)
∴m·n=1,|m|=1,|n|=1
∴m·n=|m||n|
∴m與zhin共線且共dao向
令m=λ
版n(λ>0),得a=λ√ (1-b^2),√ (1-a^2)=λb代入已知
權條件,解得λ=1
得a=√ (1-b^2)
故得a^2+b^2=1
8樓:╬絕版【◣紳士
設向量baim=(a,√ (1-a^2)),向量n=(√ (1-b^2),a)
∴m·n=1,|m|=1,|n|=1
∴m·n=|m||dun|
∴m與n共線且共
zhi向
令m=λdaon(λ>0),得a=λ√ (1-b^2),√ (1-a^2)=λb
代入已知條件,解得λ=1
得a=√ (1-b^2)
故得a^2+b^2=1
已知實數a,b滿足(a√1-b^2)+(b√1-a^2)=1,求證a^2+b^2=1
9樓:我不是他舅
因為根號bai下大於等於0
所以du
zhi1-a2>=0
-1<=a<=1
這和sinx的值域相等
所以dao可以設a=sinx
下面證明此回時b=cosx
1-a2=1-sin2x=cos2x
則sinx√
答(1-b2)+b√cos2x=1
sinx√(1-b2)+bcosx=1
sinx√(1-b2)=1-bcosx
兩邊平方
sin2x-b2sin2x=1-2bcosx+b2cos2x(1-sin2x)-2bcosx+b2(cos2x+sin2x)=0cos2x-2bcosx+b2=0
(cosx-b)2=0
所以b=cosx
所以a2+b2=sin2x+cos2x=1
10樓:匿名使用者
^設a=sin(x) b=sin(y) 0zhi/2代入dao化簡 得 sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)=1 即
sin(x+y)=1
所以x+y=π/2 所以sin(x)=sin(π/2-y)=cos(y)
a^回2+b^2=sin(x)^2+sin(y)^2=sin(y)^2+cos(y)^2=1
更簡單了
a*sqr(1-b^2)=1-b*sqr(1-a^2)兩邊平方 得a^2=1+b^2-2b*sqr(1-a^2)整理得 b^2-2b*sqr(1-a^2)+1-a^2=0即(答b-sqr(1-a^2))^2=0
即b-sqr(1-a^2)=0
所以b^2=1-a^2
所以a^2+b^2=1
11樓:宓娜康河
a√1-b^2=1-(b√1-a^2),
兩邊同時平方
,所以,a方-a方b方=1+b方-a方b方-2b√1-a^2,所以b方-2b√1-a^2+1-a方=0,所以(b-√1-a^2)方=0,
即b=√1-a^2,
兩邊同時平方,
所以b方=1-a方,即:a方+b方=1.
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