1樓:匿名使用者
二階等差數列 高一不學大學一般也不學,除非數學系某些專業。高階等差數列基本知識
62616964757a686964616fe78988e69d83313333326336611.定義:對於乙個給定的數列,把它的鏈結兩項an+1與an的差an+1-an記為bn,得到乙個新數列,把數列bn你為原數列的一階差數列,如果**=bn+1-bn,則數列是的二階差數列依此類推,可得出數列的p階差數列,其中pîn 2.
如果某數列的p階差數列是一非零常數列,則稱此數列為p階等差數列 3.高階等差數列是二階或二階以上等差數列的統稱 4.高階等差數列的性質:
(1)如果數列是p階等差數列,則它的一階差數列是p-1階等差數列 (2)數列是p階等差數列的充要條件是:數列的通項是關於n的p次多項式 (3) 如果數列是p階等差數列,則其前n項和sn是關於n的p+1次多項式 5.高階等差數列中最重要也最常見的問題是求通項和前n項和,更深層次的問題是差分方程的求解,解決問題的基本方法有:
(1)逐差法:其出發點是an=a1+ (2)待定係數法:在已知階數的等差數列中,其通項an與前n項和sn是確定次數的多項式(關於n的),先設出多項式的係數,再代入已知條件解方程組即得 (3)裂項相消法:
其出發點是an能寫成an=f(n+1)-f(n) (4)化歸法:把高階等差數列的問題轉化為易求的同階等差數列或低階等差數列的問題,達到簡化的目的 [編輯本段]例題精講 例1.數列的二階差數列的各項均為16,且a63=a89=10,求a51 解:
法一:顯然的二階差數列是公差為16的等差數列,設其首項為a,則bn=a+(n-1)×16,於是an= a1+ =a1+(n-1)a+16/2(n-1)(n-2) 這是乙個關於n的二次多項式,其中n2的係數為8,由於a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10,從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 解:法二:
由題意,數列是二階等差數列,故其通項是n的二次多項式,又a63=a89=10,故可設an=a(n-63)(n-89)+10 由於是二階差數列的各項均為16,所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即a3-2a2+a1=16,所以 a(3-63)(3-89)+10-2[a(2-63)(2-89)+10]+a(1-63)×(1-89)+10=16 解得:a=8 an=8(n-63)(n-89)+10,從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 例2.乙個三階等差數列的前4項依次為30,72,140,240,求其通項公式 解:
由性質(2),an是n的三次多項式,可設an=an3+bn2+**+d 由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得 解得: 所以an=n3+7n2+14n+8 例3.求和:
sn=1×3×22+2×4×32+...+n(n+2)(n+1)2 解:sn是是數列的前n項和, 因為an=n(n+2)(n+1)2是關於n的四次多項式,所以是四階等差數列,於是sn是關於n的五次多項式 k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2),故求sn可轉化為求 kn=和tn= k(k+1)(k+2)(k+3)=[ k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)],所以 kn== tn== 從而sn=kn-2tn= 例4.已知整數列適合條件:
(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,... (2)2a2=a1+a3-2 (3)a5-a4=9,a1=1 求數列的前n項和sn 解:設bn=an+1-an,**=bn+1-bn **=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1 =**-1 (n=2,3,4,...) 所以是常數列 由條件(2)得c1=2,則是二階等差數列 因此an=a1+ 由條件(3)知b4=9,從而b1=3,於是an=n2 例5.求證:
二階等差數列的通項公式為 證明:設的一階差數列為,二階差數列為,由於是二階等差數列
設{an}滿足下列條件:0
2樓:援手
由(1-an)*a(n+1)>1/4得,a(n+1)>1/4(1-an)>1/4,,所以
duzhi數列an有下界,而又根dao據0an-an*a(n+1)>1/4>0,所以an>a(n+1),即an單調下降,所以an單減專有下界,故極限存屬在,令liman=a,則有(1-a)a≥1/4,解得(2a-1)^2≤0,故a=1/2
3樓:青衣瓦屋
a[n+1]-a[n] > 1/4 1/(1-a[n]) - a[n] = (1-2a[n])^2/(4-4a[n]) > 0
a[n]單增
又來a[n]<1有上界,
由單源調有界定理知必收斂,設其極限為a:
(1-a)a>=1/4 (極限時通常嚴格不等式要變成非嚴格不等式)(a-1/2)^2<=0
a=1/2
設x1,x2x2019是整數,且滿足下列條件
設x1,x2 x2008中有q個0,r個 1,s個1,t個2.2分 則?r s 2t 200 r s 4t 2008 1 5分 兩式相加得s 3t 1104.故 回0 t 368.10分 由x13 x2 3 答 x2008 3 r s 8t 6t 200,12分 得200 x1 3 x2 3 x20...
實數a,b滿足a1b2b1a21,求
a 2 1 b 2 b 2 1 a 2 1a 2 a 2b 2 b 2 a 2b 2 1a 2 b 2 1 所以a 2 b 2 1 已知正實數a,b滿足a 1 b 2 b 1 a 2 1,求證 a 2 b 2 1,如果將 1 a 2 改為 2 a 2 其結果如何 注 該題用 柯西不等式 證明較簡單。...
設數列an滿足a1 3a22n 1 an 2n 1 求an的通項公式 2 求數列an
的通項公式為 an 2 2n 1 數列的前n項和為2n 2n 1 解 1 因為a1 3a2 2 n 1 1 an 1 2n 1 an 2n 那麼a1 3a2 2 n 1 1 an 1 2 n 1 由 可得，2n 1 an 2n 2 n 1 2 那麼an 2 2n 1 即的通項公式為an 2 2n 1...