1樓：不是苦瓜是什麼
^|令 x+√(x²+x+1)=u，則x²+x+1=(u-x)²=u²-2ux+x²；故得x+1=u²-2ux;
(2u+1)x=u²-1；∴x=(u²-1)/(2u+1)；
dx=[2u(2u+1)-2(u²-1)]du/(2u+1)²=[(2u²+2u+2)/(2u+1)²]du；故：
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c = - ln|secx - tanx| + c = ln|secx + tanx| + c
2樓：數學劉哥
如圖所示換元法可以計算
3樓：小小芝麻大大夢
1/根號下(x^2+1)的不定積分解答過程如下：
其中運用到了換元法，其實就是一種拼湊，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關於f（x）的函式，再把f（x）看為乙個整體，求出最終的結果。（用換元法說，就是把f（x）換為t，再換回來）。
擴充套件資料：
分部積分法
設函式和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu
兩邊積分，得分部積分公式
∫udv=uv-∫vdu。 ⑴
稱公式⑴為分部積分公式．如果積分∫vdu易於求出，則左端積分式隨之得到．
分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當地選擇u,v
一般來說，u,v 選取的原則是：
1、積分容易者選為v。
2、求導簡單者選為u。
例子：∫inx dx中應設u=inx,v=x
分部積分法的實質是：將所求積分化為兩個積分之差，積分容易者先積分。實際上是兩次積分。
有理函式分為整式（即多項式）和分式（即兩個多項式的商），分式分為真分式和假分式，而假分式經過多項式除法可以轉化成乙個整式和乙個真分式的和．可見問題轉化為計算真分式的積分．
可以證明，任何真分式總能分解為部分分式之和。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
4樓：匿名使用者
如果只是求∫√(1-x²)xdx
那麼湊微分即可
原積分=∫-0.5√(1-x²)d(1-x²)=-1/3 *(1-x²)^(3/2)+c，c為常數如果是∫√(1-x²)dx，使用三角代換
而你**上的題目已經解答的很清楚
5樓：
根號下x^2可以分解變成根號下（x+1）乘（x-1），同樣根號下1-x^2也可以分解成根號下（x+1）乘（1-x），因為x+1相同，所以x-1大於等於0,1-x大於等於0，那x只能等於1了，不知道對不對哦，但我試了一下，其他數都不行…
6樓：若雨繁花開
因√（x^2-1）+√（1-x^2）成立
所以x^2-1>=0且1-x^2>=0，所以為只能是x^2＝1則√（x^2-1）+√（1-x^2）
＝0+0
＝0x＝1或是－1
7樓：匿名使用者
∫ (x+2)/[x²√(1-x²)] dx令x=sinu，則√(1-x²)=cosu，dx=cosudu=∫ (sinu+2)/[sin²ucosu](cosu) du=∫ (sinu+2)/(sin²u) du=∫ cscu du + 2∫ csc²u du=ln|cscu-cotu| - 2cotu + c=ln|1/x - √(1-x²)/x| - 2√(1-x²)/x + c
=ln|1-√(1-x²)| - ln|x| - 2√(1-x²)/x + c
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8樓：匿名使用者
令x=tant,t∈(-π/2,π/2),則√(1+x²)=sect, dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)=sect*tant-∫tan²t*sectdt=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+c∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+c
c為任意常數
9樓：匿名使用者
||令x=sint，則dx=costdt
原式=∫cost/(sint+cost)dt=(1/2)*∫[(sint+cost)+(cost-sint)]/(sint+cost)dt
=(1/2)*∫dt+(1/2)*∫d(sint+cost)/(sint+cost)
=(1/2)*t+(1/2)*ln|sint+cost|+c=(1/2)*arcsinx+(1/2)*ln|x+√(1-x^2)|+c
其中c是任意常數
10樓：匿名使用者
設x = sinθ (0＜θ＜π/2)，dx = cosθ dθ
∫√(1 - x²) dx
= ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ)= ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ
= θ/2 + (sin2θ)/4 + c= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + c= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + c= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + c
11樓：衣未央
(1)設p(x,y)(x＞0) 則y=lnx且y=ax²-x ∴lnx=ax²-x
又在p處切線相同 所以斜率相同 得 1/x=2ax-1 得出a=(x+1)/2x² 帶入上式得 lnx=(1-x)/2
下面證該方程只有乙個實數根則p點唯一
設h(x)=lnx+x/2-1/2 ∴h(x)導數=1/x+1/2＞0 ∴h(x)在定義域上單調遞增 h(1)=0 ∴h(x)有唯一零點 即原方程有唯一正實根，∴p點唯一，得證。
(2)當切點相同時，由(1)知a=1;
當切點不同時，設切線方程為y=kx+m
直線與f(x)相切，得k=1/x,從而切點橫座標x=1/k,代入f(x)得切點縱座標y=ln(1/k),再代入直線有m=ln(1/k)-1=-lnk-1
同理，直線與g(x)相切可得x=(k+1)/2a,從而，(-k²-2k-1)/4a=-lnk-1,
∴ 4a=(k²+2k+1)/(1+lnk)(k＞0)
設f(k)=(k²+2k+1)/(1+lnk)(k＞0),則f(k)導數=(k+1)(1+2lnk-1/k)/(1+lnk)²
又設g(k)=1+2lnk-1/k, 則g(k)導數=2/k+1/k²＞0 ∴g(k)在(0，正無窮)單調遞增
又g(1)=0,∴g(k)在(0,1)上＜0，在(1，正無窮)＞0 從而
f(k)在(0,1)單調遞減，在(1，正無窮)單調遞增，∴f(k)有最小值f(1)=4,即4a的最小值為4，∴a有最小值為1
12樓：匿名使用者
三角換元法
x^2-x=(x-1/2)^2-(1/2)^2令x-1/2=(1/2)sect，dx=(tant)^2dt代入即可去掉根式，繼續積分即可求出結果，再把變數回代
13樓：我不是他舅
令x=3sina
dx=3cosada
√(9-x²)=3cosa
a=arcsin(x/3)
sina=x/3
則cosa=√(1-x²/9)=√(9-x²)/3所以原式=∫(1-3sina)/3cosa*3cosada=∫(1-3sina)da
=a+3cosa+c
=arcsin(x/3)+√(9-x²)/3+c
14樓：匿名使用者
||解：
∫1/(1-x^2)dx
=∫1/[(1+x)(1-x)]dx
=1/2·∫[1/(1+x)+1/(1-x)]dx=1/2·[ln|1+x|+ln1-x|]+c=1/2·ln|(1+x)(1-x)|+c令x=tanu，則dx=(secu^2) du∫1/√(1+x^2)dx
=∫1/secu·(secu)^2 du
=∫secu du
=ln|tanu+secu|+c
=ln|x+√(1+x^2)|+c
15樓：匿名使用者
令u=√(x²+1)/√(x²-1)=√(1+2/(x²-1))有x=√(1+2/(u²-1))
所以∫√(x²+1)/√(x²-1)dx=∫ud(√u²+1)/√(u²-1)
∫udv=∫vdu=uv/2，不定積分=x√(x²+1)/2√(x²-1)+c
16樓：匿名使用者
=∫(√(x²+x+1)-x)/(x+1)dx
然後三角換元脫根號解
1/根號下(x^2+1)的不定積分
17樓：小小芝麻大大夢
1/根號下(x^2+1)的不定積分解答過程如下：
其中運用到了換元法，其實就是一種拼湊，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關於f（x）的函式，再把f（x）看為乙個整體，求出最終的結果。（用換元法說，就是把f（x）換為t，再換回來）。
擴充套件資料：
分部積分法
設函式和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu
兩邊積分，得分部積分公式
∫udv=uv-∫vdu。 ⑴
稱公式⑴為分部積分公式．如果積分∫vdu易於求出，則左端積分式隨之得到．
分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當地選擇u,v
一般來說，u,v 選取的原則是：
1、積分容易者選為v。
2、求導簡單者選為u。
例子：∫inx dx中應設u=inx,v=x
分部積分法的實質是：將所求積分化為兩個積分之差，積分容易者先積分。實際上是兩次積分。
有理函式分為整式（即多項式）和分式（即兩個多項式的商），分式分為真分式和假分式，而假分式經過多項式除法可以轉化成乙個整式和乙個真分式的和．可見問題轉化為計算真分式的積分．
可以證明，任何真分式總能分解為部分分式之和。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
根號下1 x 2的積分，根號下1 X 2的不定積分是多少
回答您好，很高興為您解答 先求不定積分 1 x dx 令x tanu,則 1 x secu,dx sec udu secu sec u du sec u du 下面計算 sec u du secu d tanu secutanu tan usecudu secutanu sec u 1 secudu...
根號下1x2怎麼積分1x2的不定積分怎麼求根號下1加上x的平方
利用第二積分換元法,令x tanu,則 1 x dx sec udu secudtanu secutanu tanudsecu secutanu tan usecudu secutanu sec udu secudu secutanu ln secu tanu sec udu,所以 sec udu ...
求x乘以根號下x1除以x3的不定積分
dux x 1 x 1 x 3 dx三角換元zhi脫根dao號,專換元x 2 secu,2 secu 1 secu tanud 2 secu sec3u 3sec2u 2secudu secutanu ln 屬secu tanu 2 3tanu 2ln secu tanu c 求不定積分 x 根號下...