利用球面座標計算xyzdv,其中是球面x 2 y 2 z 2 1與z 2 x 2 y 2圍成的第一卦限

2021-03-30 15:20:42 字數 6326 閱讀 1277

1樓:匿名使用者

球座標∫

∫∫xyzdv

=∫∫∫ rsinφcosθ*rsinφsinθ*rcosφ*r²sinφdrdφdθ

=∫[0→π/2]cosθsinθdθ∫[0→π/4]sin³φcosφdφ∫[0→1] r^5dr

=(1/2)(1/16)(1/6)

=1/192

其中:∫[0→π/2]cosθsinθdθ=∫[0→π/2]sinθd(sinθ)

=(1/2)sin²θ |[0→π/2]

=1/2

∫[0→π/4]sin³φcosφdφ

=∫[0→π/4]sin³φd(sinφ)=(1/4)(sinφ)^4 |[0→π/4]=1/16

∫[0→1] r^5dr

=(1/6)r^6 |[0→1]

=1/6

2樓:匿名使用者

區域是球和錐面圍成,用球座標。

利用球面座標計算下列三重積分∫∫∫ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中ω為球體x2+y2+(z-

3樓:匿名使用者

答:32πa⁵/15

方法一:標準球座標

x²+y²+(z-a)² = a²

x²+y²+z² = 2az

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = 2acosφ

由於整個球面在xoy面上,所以0 ≤ φ ≤ π/2

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr

= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)

= 32πa⁵/15

方法二:廣義球座標

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = a + r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = a

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr

後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0

剩下r² * r²就好算了

方法三:平移,其實跟廣義極座標一樣原理

x = u

y = v

z = a + w

dv = du***w

ω方程變為:u²+v²+w² = a²

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w

= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w

後面那個利用對稱性得結果為0,前面的可直接用球座標

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr

= (2π)(2)(8a⁵/15)

= 32πa⁵/15

計算三重積分xyzdxdydz,其中積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦

4樓:等待楓葉

三重積分xyzdxdydz的結果等於1/48。

解:因為積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦,

那麼積分域ω是乙個球心在原點,半徑為1的球在第一掛限內的部分。

則可用球座標計算。其中(0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2,0≦r≦1)。

ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ

=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ

=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)

=(((r^6)/6)︱[0,1])*(((1/4)sin⁴φ)︱[0,π/2])*(((1/2)sin²θ)︱[0,π/2])

=(1/6)*(1/4)*(1/2)

=1/48

即ω∫∫∫xyzdxdydz等於1/48。

擴充套件資料:

三重積分的計算方法

1、直角座標繫法

適用於被積區域ω不含圓形的區域,且要注意積分表示式的轉換和積分上下限的表示方法。

(1)先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。

(2)先二後一法(截面法),先計算底面積分,再計算豎直方向上的積分。

2、柱面座標法

適用被積區域ω的投影為圓時,依具體函式設定,如設

x^2+y^2=a^2,x=asinθ,y=bsinθ。

區域條件:積分區域ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合。

函式條件:f(x,y,z)為含有與x^2+y^2相關的項。

3、球面座標繫法

適用於被積區域ω包含球的一部分。

區域條件:積分區域為球形或球形的一部分,錐 面也可以;

函式條件:f(x,y,z)含有與x^2+y^2+z^2相關的項。

5樓:楊必宇

用球面座標:

f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。

|j|=r^2*sinφ,r∈[1,2],φ∈[0,π/2],θ∈[0,2π]。

原積分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。

=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。

=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。

3、積分區域關於平面x=0對稱故元積分化為∫∫∫[ω]zdv。

這道題很複雜,要以z=1為界討論z的情況,如下圖:

t<1時,用平面z=t截ω得如下圖形:

不難求出圖形面積s(t),f(t)=ts(t)。

同樣有f=ts(t)。

對t從0到1和從1到[3sqrt(17)-1]/4分別積分而後加和得到所要的答案。

計算∫∫∫xyzdxdydz,其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域

6樓:匿名使用者

計算ω∫∫∫xyzdxdydz,其中 ω:x²+y²+z²=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域

解:積分域ω是乙個球心在原點,半徑為1的球在第一掛限內的部分,用球座標計算比較方便。

(0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2,0≦r≦1).

ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ

=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)

==(1/6)(1/4)(1/2)=1/48

7樓:匿名使用者

採用球面座標

0≤θ≤∏/2

0≤φ≤∏/2

0≤r≤1

8樓:

首先做出圖形,即第一卦限中的四分之一球。 若採用球面座標,r是原點到積分邊界的範圍,r的最大值由邊界曲面確定(將x.y.

z的引數形式帶入解析式,可得r=λ〈λ為常數或θ與φ的函式〉,即最大值。) φ是積分區域邊界曲面上向徑與z軸正向的夾角的範圍(可取到0~π)。 把積分區域向xoy平面做投影,θ是所得平面區域邊界曲線上點的向徑與x軸正向夾角的取值範圍(最大取0~2π)。

計算∫∫∫xyzdxdydz,其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內

9樓:匿名使用者

如果你問先二後一的話倒有些技巧,先一後二只是普通的演算法而已

利用柱面座標計算∫∫∫|xyz|dv, ω是由曲面z=√x^2+y^2與z=√4-x^2-y^2圍

10樓:匿名使用者

因為,曲面z=x^2+y^2在柱座標下的方程為z=ρ^2這題如果是計算積分值的話,正解如下:

因為z=常數的平面與ω截得區域的面積為πz所以∫∫∫zdxdydz=∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3

計算i=∫∫∫ω(x+y+z+1)dv,其中ω:x^2+y^2+z^2≤r^2

11樓:匿名使用者

由於積分區域ω:x² + y² + z² = r²關於座標三軸都對稱且被積函式中的x,y,z都是奇函式

若f(x,y,-z)=-f(x,y,z),則說f(x,y,z)關於z是奇函式

在對稱區間上的奇函式的積分結果是0

所以用對稱性可得∫∫∫ (x+y+z) dv = 0剩下的∫∫∫ dv,是球體ω的體積

= 4/3**π*1³

= 4π/3

所以原積分∫∫∫ (x+y+z+1) dv = 4π/3

計算∫∫∫(x+y+z^2)dv,其中ω即區域範圍是由曲面x^2+y^2-z^2=1和平面z=h,z=-h(h>0)所圍成。

12樓:

積分區域為單葉雙曲面與上下兩平行平面z=h,z=-h所圍成空間區域,

在xoz平面和yoz平面的截面是等軸雙曲線,在xoy平面是半徑為1的圓,上下底面為半徑為√(1+h^2)的圓,

該積分區域被xoy平面分成上下對稱兩部分,故只積上半部即可,另八個卦限都相同,只要積其中乙個卦限即可,

為簡便,化成柱面座標,

∫∫∫(x+y+z^2)dv

=8∫(0→π/2) dθ∫(0→√(1+h^2))(rdr)∫(0→h)(rcos+rsinθ+z^2)dz

=8∫(0→π/2) dθ∫(0→√(1+h^2))[rcosθ+rsinθ)h+h^3/3)rdr

=8∫(0→π/2) dθ[(hr^3/3)cosθ+(hr^3/3)sinθ+r^2h^3/6](0→√(1+h^2))

=8∫(0→π/2) dθ[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)cosθ+[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)sinθ+(1+h^2)h^3/6]

=8h(1+h^2)/3∫(0→π/2) [√(1+h^2)cosθ+√(1+h^2)sinθ+h^2/2]

=8h(1+h^2)/3[√(1+h^2)(sinθ-cosθ)+θh^2/2) ]((0→π/2)

=8h(1+h^2)/3[√(1+h^2)(1-0-0+1)+πh^2/4]

=8h(1+h^2)/3(2√(1+h^2)+πh^2/4)

=2h(1+h^2)(8√(1+h^2)+πh^2)/3.

13樓:匿名使用者

積分域是單葉雙曲面與兩平面所圍成.記為q.它在第一卦限的部分記為q1由於區域的對稱性和函式的奇偶性,可知,

∫∫∫(x+y)dv=0.即以下只要計算:

∫∫∫z^2)dv.

再由對稱性:

∫∫∫(x+y+z^2)dv=8倍在q1上的積分.

用柱座標用,化為:

∫∫∫z^2rdrdadz (a表示極角)積分域q1表達為:

0

0

0

首先:對r積分(區間:0

=z^2*(r^2)/2的上限值-下限值

=z^2[(1+z^2)-0]/2=

然後,對a 積分,區間(0, pi/2)

(z^4 對a是常量)故積分得:

=(pi/2)*(z^4+z^2)/2

最後,對z積分,區間( 0,h)

=(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值

=(pi/2)*[(h^5)/5+(h^3)/3]/2原積分=8*(pi/2)*[(h^5)/5+(h^3)/3]/2=2*pi*[(h^5)/5+(h^3)/3]

計算x 2 y 2)dS,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2計算曲面積分

z aa xx yy,z x x aa xx yy z y y aa xx yy ds 1 z x 2 z y 2dxdy adxdy aa xx yyyy,在xoy面的投影區域d是xx yy aa,原式 內 容上半球面 下半球面 化成d上的二重積分並用極座標計算得到 2a 0到2 dt 0到a r...

計算yzdzdx其中是上半球面z4x2y

新增 1 z 0下側bai,由高 斯公式du zhi 1 zdxdydz 1 2dxdy zdxdydz 8 1 2 4 x dao2 y 2 dxdy 8 1 2 0,2 d 0,2 r 4 r 2 dr 8 版 0,2 4r r 3 dr 12 這樣權可以麼?高數二重積分題,設 為上半球面z a...

x2y2z21影象是怎樣的

以 0,0,0 為球心,半徑為1的乙個球面。需要圖麼?就是個標準的球 怎麼在matlab中畫出x 2 y 2 1且y 2 z 2 1的影象 5 如果求一般性的兩個 抄三維曲面的交線還是有一些難度的 尤其對於兩個曲面都是隱函式的情況 但本題是兩個單位柱面的交線,情況比較特殊,用引數方程比較容易。不妨以...