1樓：匿名使用者
被平面σ1：z=0，x²+y²≤4，下側
則σ與σ1構成封閉曲面，用高斯公式
∫∫(σ+σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被積函式只剩下y，由於區域關於xoz面對稱，y是奇函式，所以結果為0綜上，上面積分為0.
下面將補的σ1減出去即可：
∫∫(σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy=-∫∫ y² dxdy
用極座標
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4 |[0→2]=-4π
因此原積分=0-(-4π)=4π
希望有幫助！呵呵！
∑為上半球面z=√(1-x^2-y^2)的上側,則對座標的曲面積分∫∫y^3dxdy=??求詳細過程
2樓：援手
^^^把上半球面z=√(1-x^2-y^2)投影到xoy平面上，得圓x^2+y^2=1，利用
極座標，原積分內=∫(sinθ)^3dθ∫r^4dr (r積分限容0到1，θ積分限0到2π），∫r^4dr =1/5，∫(sinθ)^3dθ=-∫(sinθ)^2dcosθ=∫[(cosθ)^2-1]dcosθ=(cosθ)^3/3-cosθ=0，所以積分=0
其實本題可利用對稱性，由於積分曲面關於x軸對稱，而被積函式是關於y奇函式，所以積分=0
3樓：我行我素
^^^dxy:x^2+y^2≤1,x=√(1-y^2),換元：y=rsinθ,
∫∫y^3dxdy=∫(0->2π)sinθ^3dθ∫(0->1)r^3*rdr
=-∫(0->2π)sinθ^2dcosθ∫(0->1)r^4dr
=∫(0->2π)(cosθ^2-1)dcosθ∫(0->1)r^4dr
=(1/3*cosθ^3-cosθ)(0->2π)*1/5*r^5(0->1)
=4/3*1/5
=4/15
高數二重積分題，設∑為上半球面z=√(a^2-x^2-y^2)的上側，則∫∫∑xydydz+yz
4樓：匿名使用者
解題過程如copy下圖：
積分的線性性質du
性質1 （積分可加性） 函式zhi和（差）的二重積分等於dao各函式二重積分的和（差）。
性質2 （積分滿足數乘） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外。
比較性性質3 如果在區域d上有f(x,y)≦g(x,y)估值性性質4 設m和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域d上的最大值和最小值，σ為區域d的面積。
性質5 如果在有界閉區域d上f(x,y)=k（k為常數)，σ為d的面積，則sσ=k∫∫dσ=kσ。
5樓：匿名使用者
補上底面後使用高斯公式：
6樓：樓蘭閔澤
高數曲面積 設∑球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫
回(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x2+y2+z2)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a 2ds +0+0+0
=a2 ?4πa2
=4πa^4
注：1、∫∫(x2+y2+z2)ds=∫∫a 2ds （利答用曲面積曲面程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積稱性）
計算第一型曲面積分：∫∫(x+y+z)da , ∑為上半球面z=√(a^2-x^2-y^2) (a>0)
7樓：y妹子是我
解答bai過程如下：
擴充套件資料
第一du形zhi曲dao線積分和第二形專曲線積分區別
一、方法不同
第一型曲面積屬分最基本的計算方法就是同第二型曲面積分一樣, 也是化為二重積分。
第二型曲面最基本的方法就是通過找投影化為二重積分. 想要提醒一點的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 這時候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面積分中包含 dxdy 與 dzdx 的兩項直接為零,。
而關於 p(x,y,z)dzdx 的積分, 也變為了 p(c,y,z)dydz 的積分, 然後結合方向就可以化為二重積分.。同理, 對於 y 或者 z 為常數的情況亦是如此。
二、積分物件不同
第一內類曲線積分是對弧長積分，對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素；第二類曲線積分是對座標（有向弧長在座標軸的投影）積分，對座標軸的曲線積分的積分元素是座標元素。
三。應用場合不同
第一類曲線積分求非密度均勻的線狀物體質量等問題，第二類曲線積分解決做功類等問題。
8樓：萌小萌
最後，上半球面的面積難道不是2πa^2？結果能是πa^3?那也是2πa^3吧 啊，最後積分區域改變了吧.....
9樓：匿名使用者
^首先積分曲面關於xoz,yoz平面都是對稱的,而被積函式
(x+y)分別是關於x,y的奇函式,所以∫∫(x+y)=0,原積分專=∫∫zds,而(z'x)^屬2+(z'y)^2+1=x^2/z^2+y^2/z^2+1=a^2/z^2,所以積分=∫∫azdxdy/z=a∫∫dxdy=πa^3
計算∫∫yzdzdx其中∑是上半球面z=√(4-x^2-y^2)的上側 5
10樓：手機使用者
^新增∑1：z=0下側bai，由高
斯公式du：
∫∫zhi∑+∑1=∫∫∫zdxdydz
∫∫∑=-∫∫(∑1)2dxdy+∫∫∫zdxdydz=8π+(1/2)∫∫(4-x^dao2-y^2)dxdy=8π+(1/2)∫(0, 2π)dθ∫(0,2)r(4-r^2)dr
=8π+π∫版(0,2)(4r-r^3)dr=12π
這樣權可以麼？
∑為上半球面z=√4-x^2-y^2,則曲面積分∫zds=
設∑為上半球面x^2+y^2+z^2=1(z>=0)則對面積的曲面積分∫∫ds=？
11樓：匿名使用者
同學，這個被積來
函式為1呀，
那麼結源果就是相當於求上半球面的面積了。
球體的面積公式是什麼？
是4π*r的平方。
只有上半球面，而半徑r=1，於是結果是2π了。
你用1l的方法得出的結果也是一樣的，不過就會繁雜很多！
要理解曲面積分的本質哪，不能見題目就套公式！@
12樓：麼辛麼
先化成∫∫（x^2+y^2）/(1-x^2-y^2)
就把他投影到xoy平面上在利用極座標運算
計算∬xdydz+(z+1)^2dxdy/(x^2+y^2+z^2)^1/2曲面積分，其中為上半球面z=(4-x^2-y^2)^1/2的上側,
13樓：匿名使用者
因為在球面上任何一點，都滿足x^2+y^2+z^2=4
14樓：桃花深水千萬仗
為了利用高斯公
copy式，將目標曲面補成封閉bai的曲面，且方向向du外側，最後zhi積分值減去這一部分即dao可.
目標曲面為半球面，補充半球面的底面部分，設為∑a. 新形成的封閉曲面設為 ∑b. 在底面時，z = 0，dz = 0.
則：原積分 i = ∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy - ∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy
= ∫∫∫ 3 dv - 0
= 3v(半球)
= 2πr^3.
計算yzdzdx其中是上半球面z4x2y
新增 1 z 0下側bai,由高 斯公式du zhi 1 zdxdydz 1 2dxdy zdxdydz 8 1 2 4 x dao2 y 2 dxdy 8 1 2 0,2 d 0,2 r 4 r 2 dr 8 版 0,2 4r r 3 dr 12 這樣權可以麼?高數二重積分題,設 為上半球面z a...
請教一道高數題設S為上半球面x2y2z2a2,z
1 投影曲線 x 2 y 2 3 與 上半球面 x 2 y 2 z 2 4 聯立方程版組,是 的 權方程 2 是 的方程可由1,化簡為 x 2 y 2 3 與 z 1 聯立 3 的方程的引數方程 x 3 cos t y 3 sin t z 1 切點處 t 0 4 切向量是 3 sin t,3 cos...
計算x 2 y 2）dS,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2計算曲面積分
z aa xx yy，z x x aa xx yy z y y aa xx yy ds 1 z x 2 z y 2dxdy adxdy aa xx yyyy，在xoy面的投影區域d是xx yy aa，原式 內 容上半球面 下半球面 化成d上的二重積分並用極座標計算得到 2a 0到2 dt 0到a r...