1樓：路
證法一：先證明個引理
f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某領域u(x0)內，存在乙個在點x0連續的函式h(x),使f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0)從而f'(x0)=h(x0)
證明：設f(x)在x0可導，令 h(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈u'(x0)(x0去心領域)；h(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=h(x0)
所以h(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0),x∈u(x0)
反之，設存在h(x),x∈u(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0),x∈u(x0)
因存在極限lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=h(x0)
所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=h(x0)
引理證畢。
設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則復合函式f(x)=f(φ(x))在x0可導，且f'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在乙個在點u0連續的函式h(u),使f'(u0)=h(u0),且f(u)-f(u0)=h(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導，同理存在乙個在點x0連續函式g(x),使φ'(x0)=g(x0),且φ(x)-φ(x0)=g(x)(x-x0)
於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=h(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=h(φ(x))g(x)(x-x0)
因為φ，g在x0連續，h在u0=φ(x0)連續，因此h(φ(x))g(x)在x0連續，再由引理的充分性可知f(x)在x0可導，且
f'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則復合函式y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(δu->0)δy/δu=f'(u)或δy/δu=f'(u)+α(lim(δu->0)α=0)
當δu≠0，用δu乘等式兩邊得，δy=f'(u)δu+αδu
但當δu=0時，δy=f(u+δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因為δx≠0,用δx除以等式兩邊，且求δx->0的極限，得
dy/dx=lim(δx->0)δy/δx=lim(δx->0)[f'(u)δu+αδu]/δx=f'(u)lim(δx->0)δy/δx+lim(δx->0)αδu/δx
又g(x)在x處連續(因為它可導),故當δx->0時，有δu=g(x+δx)-g(x)->0
則lim(δx->0)α=0
最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
2樓：匿名使用者
導數公式及證明
這裡將列舉幾個基本的函式的導數以及它們的推導過程:
1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數，而g'(x)中把x看作變數』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函式是x=g(y），則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。
用導數的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用復合函式的求導給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能匯出導函式的，必須設乙個輔助的函式β＝a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當⊿x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地，可以匯出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的復合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結果。
參考資料
3樓：
1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數，而g'(x)中把x看作變數』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函式是x=g(y），則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。
用導數的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用復合函式的求導給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能匯出導函式的，必須設乙個輔助的函式β＝a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當⊿x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地，可以匯出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的復合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結果。
高數微積分,怎麼證明那些中值定理
你是學數學分析的吧?一般有這幾個定理 1 fermat引理回 2 rolle定理 3 lagrange中值定理 4 cauchy中值定理 分別怎麼證答呢 1.這個簡單,左右臨界的導數 且 0即可 2.取出最大最小值結合1 3.作輔助函式g x f x f a f b f a x a 求導即可 4.反...
微積分的用途，微積分有何用處？
研究高深理論的必備工具，比如說現代控制系統，物理問題等 微積分有何用處？微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切，包括精算 計算機 統計 工業工程 商業管理 醫藥 護理 人口統計，特別是物理學 經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代科學技術，如 機械 水利 土木...
微積分的概念是什麼，微積分的定義
研究非線性變化問題的一種工具，分為微分和積分，比如求曲線的切線就是微分所研究的問題，求曲線圍成的面積就是積分學研究的問題，是由牛頓創立的 現在所說的微積分不僅僅指數學裡面的，現在有種針對大學生購買電子產品，整容，旅行什麼的一種分期付款購物平台也叫微積分。微積分的定義 微積分是數學的乙個基礎學科 是高...