1樓：教育達人小李
矩陣正定性的性質：
1、正定矩陣的特徵值都是正數。
2、正定矩陣的主元也都是正數。
3、正定矩陣的所有子行列式都是正數。
4、正定矩陣將方陣特徵值，主元，行列式融為一體。
正定矩陣的性質與判別方法
1、對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的n個特徵值全是正數。
2、對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
2樓：擾龍覓翠
一． 定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯絡，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定（半正定）二次型。
相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令a為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱a正定（半正定）矩陣；反之，令a為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱a負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣e 就是正定矩陣。
二． 正定矩陣的一些判別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的 n 個特徵值全是正數。
證明：若 ， 則有
∴λ＞0
反之，必存在u使即有
這就證明了a正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到a為半正定矩陣的充要條件是：a的特徵值全部非負。
2．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
證明：a正定
二次型 正定
a的正慣性指數為n
3．n階對稱矩陣a正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣u使 ；進一步有 （b為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣a正定，則存在可逆矩陣u使
令 則
令 則
反之，∴a正定。
同理可證a為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素 ，且 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣a正定
∴ 是正定二次型
現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第i個數為1)代入，有
∴∴a正定
∴存在可逆矩陣c ，使
5．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是：a的 n 個順序主子式全大於零。
證明：必要性：
設二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
，現證 是乙個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即即a的順序主子式全大於零。
充分性：
對n作數學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。
令 ， ，
∴a可分塊寫成
∵a的順序主子式全大於零
∴ 的順序主子式也全大於零
由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣q使令∴
再令 ，
有令 ，
就有兩邊取行列式，則
由條件 得a＞0
顯然即a合同於e ，
∴a是正定的。
三． 負定矩陣的一些判別方法
1．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的負慣性指數為n。
2．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的特徵值全小於零。
3．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的順序主子式 滿足
，即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。
由於a是負定的當且僅當-a是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。
四．半正定矩陣的一些判別方法
1． n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的正慣性指數等於它的秩。
2． n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值全大於等於零，但至少有乙個特徵值等於零。
3． n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的各階主子式全大於等於零，但至少有乙個主子式等於零。
注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大於等於零並不能保證a是半正定的，例如：
矩陣 的順序主子式 ， ， ，
但a並不是半正定的。
關於半負定也有類似的定理，這裡不再寫出。
3樓：匿名使用者
對於對稱矩陣a,若對任意非零向量x，都有x*ax>0成立，則稱a為正定。
如果a是正定矩陣，那麼a[i][i]一定大於0。因為，a[i][i]=ei*aei>0.
其中，ei為第i個單位向量。
4樓：匿名使用者
雅可比行列式有哪些性質
矩陣正定性的性質和判別
5樓：關鍵他是我孫子
1、正定矩陣的特徵值都是正數。
2、正定矩陣的主元也都是正數。
3、正定矩陣的所有子行列式都是正數。
4、正定矩陣將方陣特徵值，主元，行列式融為一體。
正定矩陣的判別方法：
1、 對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的n個特徵值全是正數。
2、對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
3、對稱矩陣a正定(半正定)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣u使a=u^tu
4、對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素均為正數。
5、對稱矩陣a正定的充分必要條件是:a的n個順序主子式全大於零。
6樓：匿名使用者
設實對稱矩陣a，如果對於任意的實非零向量x≠0有x^tax>0,則矩陣a稱為正定的。
正定矩陣的性質與判別方法
1. 對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的n個特徵值全是正數。
2．對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
3．對稱矩陣a正定（半正定）的充分必要條件是存在n階可逆矩陣u使a=u^tu
4．對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素均為正數。
5．對稱矩陣a正定的充分必要條件是：a的n個順序主子式全大於零。
7樓：匿名使用者
看看課本吧
北大版的高等代數 經典
上面說的很清楚
正定矩陣的性質有哪些
8樓：擾龍覓翠
一． 定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯絡，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定（半正定）二次型。
相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令a為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱a正定（半正定）矩陣；反之，令a為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱a負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣e 就是正定矩陣。
二． 正定矩陣的一些判別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的 n 個特徵值全是正數。
證明：若 ， 則有
∴λ＞0
反之，必存在u使即有
這就證明了a正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到a為半正定矩陣的充要條件是：a的特徵值全部非負。
2．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
證明：a正定
二次型 正定
a的正慣性指數為n
3．n階對稱矩陣a正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣u使 ；進一步有 （b為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣a正定，則存在可逆矩陣u使
令 則
令 則
反之，∴a正定。
同理可證a為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素 ，且 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣a正定
∴ 是正定二次型
現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第i個數為1)代入，有
∴∴a正定
∴存在可逆矩陣c ，使
5．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是：a的 n 個順序主子式全大於零。
證明：必要性：
設二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
，現證 是乙個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即即a的順序主子式全大於零。
充分性：
對n作數學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。
令 ， ，
∴a可分塊寫成
∵a的順序主子式全大於零
∴ 的順序主子式也全大於零
由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣q使令∴
再令 ，
有令 ，
就有兩邊取行列式，則
由條件 得a＞0
顯然即a合同於e ，
∴a是正定的。
三． 負定矩陣的一些判別方法
1．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的負慣性指數為n。
2．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的特徵值全小於零。
3．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的順序主子式 滿足
，即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。
由於a是負定的當且僅當-a是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。
四．半正定矩陣的一些判別方法
1． n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的正慣性指數等於它的秩。
2． n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值全大於等於零，但至少有乙個特徵值等於零。
3． n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的各階主子式全大於等於零，但至少有乙個主子式等於零。
注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大於等於零並不能保證a是半正定的，例如：
矩陣 的順序主子式 ， ， ，
但a並不是半正定的。
關於半負定也有類似的定理，這裡不再寫出。
什麼是正定矩陣
9樓：文子
廣義定義：設m是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有ztmz> 0，其中zt 表示z的轉置，就稱m為正定矩陣。
例如：b為n階矩陣，e為單位矩陣，a為正實數。在a充分大時，ae+b為正定矩陣。（b必須為對稱陣）
狹義定義：乙個n階的實對稱矩陣m是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z，都有ztmz> 0。其中zt表示z的轉置。
10樓：電燈劍客
a是n階實矩陣，x是n維實的列向量。如果對任何非零的x，x^t*a*x>0，那麼稱a是正定矩陣，注意這裡x^t*a*x是乙個實數(1x1矩陣)。
至於那個偏導，直接按定義求不就行了。
看上去你在看 x^t*a*x/2+b^t*x 的最值問題和方程 ax=b 的聯絡，不過你的基本功看起來缺失了不少，如果不把基本功補好的話搭空中樓閣是沒有多大意義的。
證明a是正定矩陣那麼a的逆也是正定矩陣高手解
首先，證明矩陣a的逆是對稱陣 因為矩陣a是正定的，所以矩陣a對稱，即a t a 又由於 a t a t 所以 a t a 故矩陣a逆是對稱陣。然後，證明矩陣a的逆是正定矩陣 因為矩陣a是正定的則存在x屬於r，且x不等於0，使得x tax 0 對於x ta x x ta aa x x t a t aa...
設A,B是同階正定矩陣,AB是否為正定矩陣為什麼
是的,對於任意非零向量x,x a x 0 x b x 0 x a b x 0 a b是正定矩陣。設a,b是同階正定矩陣,a b是否為正定矩陣?為什麼 是的,對於任意非零向量x,x a x 0 x b x 0 x a b x 0 a b是正 定矩陣.正定矩陣有以下性質 1 正定矩陣的行列式恒為正 2 ...
正定矩陣為什麼是對稱矩陣？各位大蝦，能詳細說明一下麼
因為在復線性代數裡，制正定矩陣 有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數中，正定矩陣的性質類似復 數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式，所以也是對稱矩陣。正定矩陣的廣義定義 設m是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zmz 0，其中z 表示z的轉置，就稱m正定矩陣。例如 b為n階矩...