1樓：匿名使用者
^由a正定, a^t=a
所以 (c^tac)^t = c^ta^t(c^t)^t = c^tac
所以 c^tac 是對稱矩陣.
對任意n維非零
向量x由於內c可逆
所以 cx≠0
由a正定知
容 (cx)^ta(cx) >0
即 x^t(c^tac)x >0
所以 c^tac 正定.
設矩陣a是正定矩陣，c是m×n矩陣，b=ctac,其中ct是c的轉置矩陣，證明b實正定矩陣的充要條件是c的秩等於n
2樓：庸詘皇
1. 首先注意到實對稱陣的特徵值都是實數,因此只要說明b的特徵值都是正實數.設a是b的乙個特徵內值,有對應的特徵向容量x,即：bx = ax.則
x^tabx + x^tbax = x^ta(ax) + (bx)^tax = ax^tax + ax^tax = 2ax^tax
而據已知條件,
x^tabx + x^tbax = x^tcx > 0且x^tax > 0（此二處利用a、c的正定性）故a>0.
2. a正定當且僅當對所有向量x,x^tax>0.而c可逆,於是對任何向量x,總有向量y,使得 x=cy.
於是 「c^tac正定」=> y^t(c^tac)y>0 => x^tax>0 ,反之亦然.
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