1樓：小柒
[編輯本段]導數（derivative function） 亦名紀數、微商，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念。又稱變化率。 如一輛汽車在10小時內走了 600千公尺，它的平均速度是60千公尺／小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千公尺／小時。
為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為s＝f（t），那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，當 t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 ，自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設一元函式 y＝f(x )在 x0點的附近(x0－a ，x0 ＋a)內有定義，當自變數的增量δx＝ x－x0→0時函式增量 δy＝f（x）－ f（x0）與自變數增量之比的極限存在且有限，就說函式f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數（或變化率)。若函式f在區間i 的每一點都可導，便得到乙個以i為定義域的新函式，記作 f'，稱之為f的導函式，簡稱為導數。
函式y＝f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示曲線l 在p0［x0，f（x0）］ 點的切線斜率。一般地，我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性的法則：
設y＝f(x )在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）≥0,則f（x）在這個區間是單調增加的。。如果在（a，b）內，f'（x）≤0,則f（x）在這個區間是單調減小的。
所以，當f'（x）=0時，y＝f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。 [編輯本段]導數是微積分中的重要概念。 導數定義為：
當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在乙個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。可導的函式一定連續。
不連續的函式一定不可導。 導數另乙個定義：當x=x0時，f『(x0)是乙個確定的數。
這樣，當x變化時，f'(x)便是x的乙個函式，我們稱他為f(x)的導函式（derivative function）（簡稱導數）。 y=f(x)的導數有時也記作y'，即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x 物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。
以上說的經典導數定義可以認為是反映區域性歐氏空間的函式變化。 為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的「聯絡」。 有了聯絡，人們就可以研究大範圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
注意：1.f'(x)<0是f(x)為減函式的充分不必要條件，不是充要條件。
2.導數為零的點不一定是極值點。當函式為常值函式，沒有增減性，即沒有極值點。
但導數為零。 [編輯本段]求導數的方法 （1）求函式y=f(x)在x0處導數的步驟： ① 求函式的增量δy=f(x0+δx)-f(x0) ② 求平均變化率 ③ 取極限，得導數。
（2）幾種常見函式的導數公式： ① c'=0(c為常數函式)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q)； ③ (sinx)' = cosx； ④ (cosx)' = - sinx； ⑤ (e^x)' = e^x； ⑥ (a^x)' = (a^x) * ina （ln為自然對數） ⑦ (inx)' = 1/x（ln為自然對數） ⑧ (logax)' =(1/x)*logae,(a>0且a不等於1) 補充一下。上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函式，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加注意。
（3）導數的四則運算法則： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 （4）復合函式的導數 復合函式對自變數的導數，等於已知函式對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。 導數是微積分的乙個重要的支柱。
牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻！ [編輯本段]導數公式及證明 這裡將列舉幾個基本的函式的導數以及它們的推導過程: 1.
y=c(c為常數) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.
f(x)=logax f'(x)=1/xlna (a>0且a不等於1,x>0) y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.
y=tanx y'=1/(cosx)^2 8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.
y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/(1+x^2) 12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2) 在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]�6�1g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數，而g'(x)中把x看作變數』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2 3.
y=f(x)的反函式是x=g(y），則有y'=1/x' 證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。
用導數的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。 2.
這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用復合函式的求導給予證明。 3.
y=a^x, ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 如果直接令⊿x→0，是不能匯出導函式的，必須設乙個輔助的函式β＝a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 顯然，當⊿x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x 因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有 lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。 這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx�6�1(nlnx)'=x^n�6�1n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2) ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2) 所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)�6�1lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx 6.類似地，可以匯出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.
y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.
y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的復合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能較快捷地求得結果。
對於y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導方法。 y=x^n 由指數函式定義可知，y>0 等式兩邊取自然對數 ln y=n*ln x 等式兩邊對x求導，注意y是y對x的復合函式 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 冪函式同理可證 導數說白了它其實就是斜率 上面說的分母趨於零,這是當然的了,但不要忘了分子也是可能趨於零的,所以兩者的比就有可能是某乙個數,如果分子趨於某乙個數,而不是零的話,那麼比值會很大,可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在. x/x,若這裡讓x趨於零的話,分母是趨於零了,但它們的比值是1,所以極限為1.
建議先去搞懂什麼是極限.極限是乙個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸. 並且要認識到導數是乙個比值.
導數的應用 1．函式的單調性 (1)利用導數的符號判斷函式的增減性 利用導數的符號判斷函式的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的乙個應用，它充分體現了數形結合的思想． 一般地，在某個區間(a，b)內，如果＞０，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果＜０，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞減． 如果在某個區間內恒有=0，則f(x)是常函式． 注意：在某個區間內，＞０是f(x)在此區間上為增函式的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在內是增函式，但． (2)求函式單調區間的步驟 ①確定f(x)的定義域； ②求導數； ③由（或）解出相應的x的範圍．當時，f(x)在相應區間上是增函式；當時，f(x)在相應區間上是減函式． 2．函式的極值 (1)函式的極值的判定 ①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點； ②如果在附近的左側，右側，那麼，是極大值； ③如果在附近的左側，右側，那麼，是極小值． 3．求函式極值的步驟 ①確定函式的定義域； ②求導數； ③在定義域內求出所有的可疑點，即求方程及的所有實根； ④檢查在可疑點左右的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值． 4．函式的最值 (1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a，b)內的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的乙個是最大值，最小的乙個是最小值．
什麼數的導數是lnx什麼函式的導數是lnx？
x lnx x c的導數是lnx。這道題實際上就是求lnx的微積分。解答如下 lnxdx x lnx xdlnx x lnx x 1 x dx x lnx dx x lnx x c c為任意常數 所以 x lnx x c 的導數為lnx。擴充套件資料 分部積分 uv u v uv 得 u v uv ...
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母琲牟水風 導數不存在的點就是在該點不可導 一個函式可導的充分必要條件是它的左導數和右導數都存在並且相等 由此可以判斷是否可導 舉例，f x 絕對值x，x屬於r.該函式在r上連續，但在x 0點導數不存在 即不可導 因為它的左導數 1 和右導數 1 不相等.畫圖以後就更明瞭了 倒數不存在的點即為無法求...
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