1樓：天龍八部大結局
以兩個為例，顯然兩個向量線性相關意味著相差乙個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
2樓：小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下：
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y=mx，因此，得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】，得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量，而h,k兩個特徵值不相同，即h-k不為0則m=0，則y=mx=0，這與特徵向量非零向量，矛盾！
因此假設不成立，從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為，某個特徵值的乙個特徵向量的非零倍數，也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量，因為是倍數關係，因此是線性相關的。
又例如，如果乙個特徵值，相應特徵方程解出來，基礎解系中有多個解向量，這些解向量是線性無關的，且都是此特徵值的特徵向量。
3樓：你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得：k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說：對於對稱矩陣，無論有沒有相同的特徵值，它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
4樓：2048人
1. 是
2. 可能會
如何證明乙個矩陣不同特徵值對應特徵向量正交，是不是很麻煩過程
5樓：匿名使用者
該命題bai成立的前提是a是對稱du陣
設c1, c2是兩個a的不zhi同特徵值，daox, y分別是其對內應的特徵向量，有
a * x = c1 * x
a * y = c2 * y
分別取容轉置，並分別兩邊右乘y和x，得
x' * a' * y = c1 * x' * yy' * a' * x = c2 * y' * x = c2 * x' * y
對應相減
(c1 - c2) x' * y = x' * a' * y - y' * a' * x = 0
而 c1 - c2 ≠ 0，因此 x' * y = 0證畢
6樓：匿名使用者
結論要求a是對稱陣，一般情況下不對
如何證明乙個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
7樓：匿名使用者
用數學歸納copy法。乙個特徵值對應的特徵向量線性無關。假設結論對k-1成立，則對k，設p1,p2，。。。
pk是對應於不同特徵值a1，a2，。。。，ak的特徵向量，令b1p1+...+bkpk=0，左乘a得，b1a1p1+....
+bkakpk=0，第一式乘a1與第二式相減得b2(a2-a1)p2+...+bk(ak-a1)pk=0，由歸納前提有bi(ai-a1)=0，而ai-a1不為0，故bi=0，i=2,3,...,k。
代入第一式知b1=0。於是結論成立。
為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關？還有怎麼判斷乙個n階矩陣有n個線性無關的特徵向量？
8樓：匿名使用者
特徵值a的幾何重數就是 n-r(a-ae)
也就是齊次線性方程組 (a-ae)x=0 的基礎解系所含向量的個數
幾何重數不超過代數重數
9樓：電燈劍客
對於不同特徵值對應的特徵向量的無關性，直接用線性無關的定義，借助vandermonde行列式即可
至於幾何重數的具體資訊，從jordan標準型裡直接可以讀出來
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
10樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
11樓：匿名使用者
你好！提問不是很清楚，例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨乙個特徵向量也是線性無關的。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
12樓：週三心盼
若a1,...,as 是a的屬於同乙個特徵值的特徵向量則其非零線性組合 k1a1+...+ksas 也是a的屬於此特徵值的特徵向量
某個特徵值的全部特徵向量是對應齊次線性方程組的基礎解系的非零線性組合所以一般線性相關
λ1，λ2是矩陣a的兩個不同的特徵值，對應的特徵向量分別為α1，α2，求證α1，α2線性無關。
13樓：匿名使用者
證明: 設 k1α1+k2α2=0 (1)等式兩邊左乘a得 k1aα1+k2aα2=0由已知得 k1λ1α1+k2λ2α2=0 (2)λ1*(1) - (2)
k2(λ1-λ2)α2=0
因為α2是特徵向量, 故不等於0
所以 k2(λ1-λ2)=0
而 λ1,λ2是矩陣a的兩個不同的特徵值
所以 k2=0
代入(1)知k1=0.
故α1,α2線性無關
14樓：匿名使用者
定理：屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的
證明：對特徵值的個數做數學歸納法。由於特徵向量是不為零的，所以單個的特徵向量必然線性無關。現在設屬於k個不同特徵值的特徵向量線性無關，
我們證明屬於k+1個不同特徵值λ1,λ2,...,λ(k+1)的特徵向量ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)也線性無關。
假設有關係式a1ξ1+a2ξ2+...+akξk+a(k+1)ξ(k+1)=0（1）成立，等式兩端乘以λ(k+1)得：
a1λ(k+1)ξ1+a2λ(k+1)ξ2+...+akλ(k+1)ξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（2）
（1）式兩端同時作用a，即有
a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+...+akλkξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（3）
（3）減去（2）得到
a1(λ1-λ(k+1))ξ1+...+a(k+1)(λk-λ(k+1))ξ(k+1)=0
根據歸納法假設，ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)線性無關，於是ai(λi-λ(k+1))=0,i=1,2,...,k.
但λi-λ(k+1)≠0(i≤k)，所以ai=0，i=1,2,...,k.
這時（1）式變為a(k+1)ξ(k+1)=0.又因為ξ(k+1)≠0，所以只有a(k+1).
這就證明了ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)線性無關。
矩陣一定有特徵值嗎？如何證明矩陣有特徵值？
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