1樓：匿名使用者
對應於不同特徵值的特徵向量之間是線性無關的。問：在對角化裡的p不是線性無關的嗎？
答：是的，n階矩陣a能對角化的充要條件就是a有n個線性無關的特徵向量，p就是這些特徵向量構成的可逆矩陣。問：
而特徵值卻有可能的是相同的答：特徵值相同就是指特徵值的重數。例如矩陣a有3個特徵值1,3,3, 如果對應於特徵值3有2個線性無關的特徵向量，即矩陣多項式|3e—a|=0有2個線性無關的解，即 r(3e—a)=1,則矩陣a可以相似對角化。
另外，如果a是對稱矩陣，則對應於a的不同特徵值的特徵向量不僅線性無關，更是正交的。建議：多看看教材，我用的是同濟的線代書，講義用的是李永樂的。
不要意思，獻醜了，不知你滿不滿意，呵呵！
2樓：世潔漢黛
用數學歸納法
只有乙個特徵值時，因特徵向量非0，所以無關。
設k-1個不同的特徵值對應的特徵向量無關
則k個時，作線性組合為0向量，此式記為1
兩邊左乘a即和特徵值聯絡，此式記為2
1式兩邊乘第k個特徵值，此式記為3
3-2即消去第k個特徵向量，由歸納假設，k-1個特徵向量無關，即得1式中的組合係數都為0得證。
如何證明乙個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
3樓：天龍八部大結局
以兩個為例，顯然兩個向量線性相關意味著相差乙個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
4樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
5樓：匿名使用者
你好！提問不是很清楚，例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨乙個特徵向量也是線性無關的。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
6樓：週三心盼
若a1,...,as 是a的屬於同乙個特徵值的特徵向量則其非零線性組合 k1a1+...+ksas 也是a的屬於此特徵值的特徵向量
某個特徵值的全部特徵向量是對應齊次線性方程組的基礎解系的非零線性組合所以一般線性相關
為什麼不同特徵值的特徵向量線性無關？
7樓：匿名使用者
這個問題你可以作為一道證明題來做：
證明不同特徵值對應的特徵向量線型無關。
設x1,x2 是a的兩個不同的特徵值；n1,n2分別為其對應的特徵向量。
設存在實數k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;
易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關。
還可以從特徵值和特徵向量的定義式看：
an1=x1*n1;an2=x2*n2
a 為矩陣； x1,x2為特徵值；n1,n2為其對應的特徵向量若n2與n1 線性相關，則n2= b*n1 帶入an2=x2*n2得到：
b*an1=b*x1*n1 ;也即an1=x1*n1得到特徵值x2的存在是沒有意義的，或者說是和x1相等的。
與已知他們是兩個不同的特徵值是矛盾的。
所以：n2與n1 線性相關的假設是錯誤的。
8樓：匿名使用者
如果兩個特徵向量x1，x2線性相關，則對應分量成比例，即x1=k x2
那麼兩個特徵向量的特徵值必然相等。a x1=k a x2=k k2 x2=k2 x1=k1 x1，
所以k1=k2。
為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關？還有怎麼判斷乙個n階矩陣有n個線性無關的特徵向量？
9樓：匿名使用者
特徵值a的幾何重數就是 n-r(a-ae)
也就是齊次線性方程組 (a-ae)x=0 的基礎解系所含向量的個數
幾何重數不超過代數重數
10樓：電燈劍客
對於不同特徵值對應的特徵向量的無關性，直接用線性無關的定義，借助vandermonde行列式即可
至於幾何重數的具體資訊，從jordan標準型裡直接可以讀出來
同乙個特徵值對應的特徵向量線性無關嗎？如果不一定，怎麼來區分他是線性無關還是線性相關呢？
11樓：匿名使用者
特徵向量是無窮多個的。問題不是這些特徵向量是否無關。而是r重特徵值，能否找到r個無關的特徵向量。
具體找的方法，就是解（λe-a）x=0。
乙個n階方陣的不同特徵值對應的特徵向量線性無關，錯的，如何證明？
12樓：曉曉休閒
在向量空間v的一組向量a：a1，a2，...am，如果存在不全為零的數 k1, k2, ···,km , 使
則稱向量組a是線性相關的，否則數 k1, k2, ···,km全為0時，稱它是線性無關。由此定義看出a：a1，a2，...
am是否線性相關，就看是否存在一組不全為零的數 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看
這個齊次線性方程組是否存在非零解，將其係數矩陣化為最簡形矩陣，即可求解。此外，當這個齊次線性方程組的係數矩陣是乙個方陣時，這個係數矩陣存在行列式為0，即有非零解，從而a：a1，a2，...
am線性相關。
如何證明矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
以兩個為例，顯然兩個向量線性相關意味著相差乙個常數倍。然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖 1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關 1 矩陣不同 的特徵值對應的特徵向量一定線性...
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仨x不等於四 特徵向量和特徵值的定義就是 矩陣a乘以一個非零向量a，相當於一個數 乘以這個向量a，於是這個數 就是特徵值 能代表矩陣a特點的數值 向量a就是特徵向量。寫成式子就是 aa a 那你想想，移項過去以後aa a 0，要把a用乘法分配律提出來，就變成 a e a 0 e是單位矩陣 那你現在的...
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