1樓：
1. riemann可積不一定存在原函式.
f(x)存在原函式, 即存在可導函式f(x), 使f(x) = f'(x)對定義域內的任意x成立.
可以用lagrange中值定理證明:
若f(x)在乙個區間上處處可導, 則導函式f'(x)在該區間內沒有第一類間斷點.
基於如上觀察, 可以構造如下例子:
取f(x) = 0, 當0 ≤ x < 1/2, 取f(x) = 1, 當1/2 ≤ x ≤ 1.
f(x)在[0,1]上有界, 且只有乙個間斷點x = 1/2, 因此f(x)在[0,1]是riemann可積的.
但是x = 1/2是f(x)的第一類間斷點, 因此f(x)在[0,1]沒有原函式.
如果取f(x) = ∫ f(t)dt, 會發現f(x)在x = 1/2處是不可導的, f(x) = f'(x)在該點不成立.
2. 原函式存在不一定riemann可積.
在閉區間[a,b]上riemann可積需要兩個方面的條件: 有界性和連續性(不連續點是零測集).
從前者入手比較容易:
在x ≠ 0處, 取f(x) = x^(4/3)·sin(1/x), 則f'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0處, 取f(0) = 0, 則f'(0) = lim f(x)/x = lim x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
f(x)處處可導. 且對任意正整數k, f'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3), 因此f'(x)在0的任意鄰域內無界.
於是f(x) = f'(x)在[-1,1]上存在原函式, 但不是riemann可積的(因為不是有界的).
實際上, 存在f(x)在r上處處可導, 導數有界, 但導數不是riemann可積的(導數的不連續點不零測).
構造比較複雜, 參考鏈結(只找到英文的
2樓：帥boy不壞
上面的兄弟寫錯了吧，結果應該是-(2kπ)^(-2/3)，少了乙個負號，答案剛好相反，是0，所以不能證明你的結論，你能再舉個對的例子嗎？
3樓：匿名使用者
敘述的有些問題：先看看黎曼積分的原函式的定義已知函式f(x)是乙個定義在某區間的函式，如果存在函式f(x)，使得在該區間內的任一點都有
df(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函式f(x)為函式f(x)的原函式。
可積一定存在原函式的，只是原函式不一定能寫出具體的解析表示式來反過來也一樣 原函式若存在肯定是的可積
函式可積一定存在原函式嗎？
4樓：是你找到了我
函式可積不一定存在原函式。 因為這是兩個概念，函式可積指的是函式的定積分存在，而函式存在原函式則是涉及不定積分的概念。
乙個函式，可以存在不定積分，而存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。乙個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的乙個原函式，再加上任意的常數c就得到函式f(x)的不定積分。
5樓：匿名使用者
可積是只定積分，而定積分可積的必要條件是函式有界；可積的充分條件有：連續；或有界且只有有限個間斷點；或單調。同時注意到f（x）在x=0處是間斷的，只不過.
是第二類間斷點；存在第一類間斷點的函式是不存在原函式的。
積分的主要任務就是找到原函式。不過有的可積函式是找不到原函式的！可積但原函式不一定存在,原函式存在不一定可積，二者沒有必然關係。
若函式f(x)在區間[a,b]上連續，則函式f(x)一定可積且原函式存在；若函式f(x)在區間[a,b]上存在有限個間斷點，則函式f(x)一定可積，而原函式的存在性需要通過判斷間斷點的連續性來得出原函式是否存在。
擴充套件資料
原函式的定義：如果在區間i上，f』(x)=f(x)那麼稱f(x)是f(x)在區間i上的原函式（或反導數）。如果乙個函式存在原函式，那麼它有無窮多個原函式，而且其中的任何兩個原函式之間只相差乙個常數。
不定積分的定義：函式f(x)在區間i上所有原函式的一般表示式稱為f(x)在i上的不定積分，記作
對於原函式的存在性有如下兩個重要結論：
1、如果在區間i上函式f(x)連續，則函式f(x)在區間i上存在有原函式。
2、如果在區間i上函式f(x)有第一類間斷點和第二類無窮間斷點，則函式在該區間i上沒有原函式，如果函式在區間i上僅僅具有第二類振盪間斷點，則有可能存在有原函式。
6樓：demon陌
函式可積不一定存在原函式。按條件的強度來說，可積是個較弱的條件，因為可積的充分條件是「在閉區間上有界且只有有限個間斷點。」 可積的必要條件就是函式有界。
函式可積，只能知道他的變限積分所構造的函式連續。連續是比可積稍強的條件，也就是說，閉區間連續一定可積，且必有原函式，而且該函式的原函式一定可導。
可導是比連續更強的條件，也就是說可導——》連續——》可積。
可微是很強的條件，比可導還強，一元函式二者等價，多元函式可微比可導強。
偏導數連續（我認為）是最強的條件，可以推出上述的一切條件。乙個函式如果可導，那麼它的導函式是不可能存在第一類間斷點的，所以說乙個函式如果存在第一類間斷點，那麼它是不會有原函式的。
7樓：匿名使用者
個人理解：按條件的強度來說，可積是個較弱的條件，因為可積的充分條件是「在閉區間上有界且只有有限個間斷點。」 可積的必要條件就是函式有界。
函式可積，只能知道他的變限積分所構造的函式連續。連續是比可積稍強的條件，也就是說，閉區間連續一定可積，且必有原函式，而且該函式的原函式一定可導。可導是比連續更強的條件，也就是說可導——》連續——》可積。
可微是很強的條件，比可導還強，一元函式二者等價，多元函式可微比可導強。偏導數連續（我認為）是最強的條件，可以推出上述的一切條件。你可以按我說的畫個推導圖，好好找找這些個概念的章節再好好理解一下。
你的最後一問，其實你反過來想，乙個函式如果可導，那麼它的導函式是不可能存在第一類間斷點的，所以說乙個函式如果存在第一類間斷點，那麼它是不會有原函式的。
8樓：匿名使用者
這兩個問題的答案都是否定的，應該都是不一定。試想把可去間斷點的函式值補上，那麼原函式可以確定是不存在的。否則不一定。希望能幫到你。
9樓：匿名使用者
問題一：否，若f(x)存在原函式f(x),那麼f'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳躍間斷點，必然，f(c 0)≠f(c-0),這就導致f'(c 0)≠f'(c-0)，故f'(c)不存在，與f'(c)=f(c)矛盾。可去間斷點f'(c 0)=f'(c-0)，但是顯然他們都不等於f'(c)[例如f'(c 0)=f(c 0)≠f(c)],事實上，函式存在第一類間斷點，必然沒有原函式。
問題二：是。有限個間斷點不影響可積性，若存在原函式f『(x)=f(x),根據函式的性質，可導函式必連續，可知f(x)連續。
10樓：匿名使用者
不一定是啥意思？能不能說詳細點，我已經迷惑了，你回答這麼簡單，我更迷惑了。
函式的原函式是否一定連續
假面 無論什麼樣的函式，只要存在原函式，則原函式一定是可導函式，因此一定是連續的。分段函式的話就分段積分得到的原函式也是分段的。原函式是指對於一個定義在某區間的已知函式f x 如果存在可導函式f x 使得在該區間內的任一點都存在df x f x dx，則在該區間內就稱函式f x 為函式f x 的原函...
有可去間斷點被積函式fx的原函式Fx,一定可導,對嗎
當然是正確的 積分是在乙個區間上的面積 有可去間斷點當然不會影響積分 那麼在得到f x 之後 就還是可導的 f x 在包含可去間斷點的區間內沒有原函式吧。可去間斷點可導嗎?可去間斷點不一定可導。可去間斷點的條件不強,只要求函式值的左極限等於右極限。可是可導的條件就強了,要求導數的左極限等於右極限。不...
有界函式不一定可積為什麼
原因如下 可以假設這樣乙個函式f 62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431346434x 1 x是有理數的時候 0 x是無理數的時候 那麼f x 在x為任意實數的時候，只有1和0兩種取值，所以f x 是有界的。但是在任意區間內 無論是開區間還是閉區間 都有...