1樓:交大少
高等數學用更加「精確」的方式幫我們重新定義了很多概念,讓我這個初入數學大門的內人幾乎對這個世界產容
生了不一樣的理解。
首先,微分部分 函式的極限—————包括一元和多元函式的極限,這為函式的求導以及連續性奠定了基礎;
積分部分 定積分的定義就需要用到極限————這就使得以定積分為基礎的之後的都需要用到極限的概念。
所以,高等數學其實是將極限融入了自己的體系內,當成了乙個基本的工具的。
以上均為粗淺之見,並未深入**,請見諒。希望對題主的問題理解有幫助。
極限思想在哪方面有應用?
2樓:春素小皙化妝品
1、極限思想是微積分的基本思想,數學分析中的一系列重要概念,如函式的連續性、導數以及定積分等等都是借助於極限來定義的。
2、數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題(例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題),正是由於它採用了極限的思想方法。
有時我們要確定某乙個量,首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值,而且所確定的近似值也不僅僅是乙個而是一連串越來越準確的近似值;然後通過考察這一連串近似值的趨向,把那個量的準確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。
擴充套件資料
極限思想的萌芽可以追溯到古希臘時期和中國戰國時期,但極限概念真正意義上的首次出現於沃利斯的《無窮算數》中,牛頓在其《自然哲學的數學原理》一書中明確使用了極限這個詞並作了闡述。
但遲至18世紀下半葉,達朗貝爾等人才認識到,把微積分建立在極限概念的基礎之上,微積分才是完善的,柯西最先給出了極限的描述性定義,之後,魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴格定義(ε-δ和ε-n定義)。
從此,各種極限問題才有了切實可行的判別準則,使極限理論成為了微積分的工具和基礎。
3樓:匿名使用者
1, 在解題中例如我們以前的物理學科
一般是某個因素在連續變化過程中另乙個因素的變化情況,採用極限方法可以簡化複雜的公式的證明,適合於選擇題的快速解答。比如電路中電阻變小,極限情況就是短路,電阻變大的極限就是斷路,知道初始情況,知道極限情況,就可以選擇變化規律正確的選項
2, 經濟方面
經濟學中的邊際、彈性、消費者剩餘等許多問題,都涉及到極限思想這一重要方法。
3,智力遊戲
其實都是些思路,舉個例子:
兩人坐在方桌旁,相繼輪流往桌面上平放一枚同樣大小的硬幣。當最後桌面上只剩下乙個位置時,誰放下最後一枚,誰就算勝了。設兩人都是高手,是先放者勝還是後放者勝?
(g·波利亞稱「由來已久的難題」)
g·波利亞的精巧解法是「一猜二證」:
猜想(把問題極端化) 如果桌面小到只能放下一枚硬幣,那麼先放者必勝。
證明(利用對稱性) 由於方桌有對稱中心,先放者可將第一枚硬幣佔據桌面中心,以後每次都將硬幣放在對方所放硬幣關於桌面中心對稱的位置,先放者必勝。
從波利亞的精巧解法中,我們可以看到,他是利用極限的思想考察問題的極端狀態,探索出解題方向或轉化途徑。
極限思想是一種重要的數學思想,靈活地借助極限思想,可以避免複雜運算,探索解題新思路。
不知道這樣的回答你滿意嗎
4樓:
極限思想作為一種數學思想,由遠古的思想萌芽,到現在完整的極限理論,其漫長曲折的演變歷程布滿了眾多數學家們的勤奮、智慧型、嚴謹認真、孜孜以求的奮鬥足跡。
極限思想的演變歷程,是數千年來人類認識世界和改造世界的整個過程的乙個側面反應,是人類追求真理、追求理想,始終不渝地求實、創新的生動寫照。
極限思想的產生與完善是社會實踐的需要,它的產生為數學的發展增加了新的動力,成為了近代數學思想和方法的基礎和出發點。
極限思想是微積分理論的基礎,而微積分與經濟學、物理學、機械自動化等與生活息息相關的學科是密不可分的。尤其是對於經濟學來說,是乙個透過現象看本質的必不可少的工具,經濟學的核心詞語「邊際」便是乙個將導數經濟化的概念。只有結合微積分等數學知識,才能使經濟學從乙個僅僅對表面現象進行膚淺的常識推理、流於表面化的學科,變為乙個用科學的方法進行數理分析、再結合各社會學科的豐富知識,從而分析出深層次的、更具有廣泛應用性的基本結論的學科。
其他學科也是如此,極限思想的應用無處不在,理解掌握並合理應用極限要思想,可以讓我們在解決實際問題的過程中,能較快發現解決問題的方法,提高實際效果。
5樓:醬油帥男
極限思想可以說是引領了整個時代的的發展,現在的社會可以說是建立在微積分這個數學基礎之上的,上到衛星的發射及執行軌道,下到國家領土面積的計算,在小到算曲線的長度,曲線圍城的面積等,這都要歸功於微積分,而微積分本質就是極限的求解。
6樓:匿名使用者
極限思想是高中數學中的一種重要的數學思想,利用極限思想使人們能夠從有限中認識無限,從近似中認識精確,從量變中認識質變成為可能。高中數學教材中有多處內容滲透了極限的思想和方法,如「球的體積和表面積」、「雙曲線的漸近線」等,但是極限思想在實際教學中沒有得到普遍的認可和推廣,學生對這種思想方法相當陌生。對於某些數學問題,如果我們能夠靈活運用極限思想求解,往往可以避開一些抽象複雜的運算,降低解題難度,還可以優化解題思路,收到事半功倍的效果。
下面是筆者嘗試將極限思想和方法滲透融合在解題教學中,實現方法與內容的整合。
一、尋求極限位置,實現估算與精算的結合
例1 過拋物線 的焦點f作一直線交拋物線於p、q兩點,若線段pf與qf的長分別是p、q,則 等於( )。
(a)2a (b) (c) 4a (d)
圖1解析:本題是有關不變性的問題,常規解法是探求p、q、a的關係,過程繁瑣,且計算較複雜。若能充分認識到變與不變的辨證關係,利用運動和變化的觀點,借助於極限思想即取pq的極限位置可使問題變得簡便易行,如圖1所示,將直線pq繞點f順時針方向旋轉到與y軸重合,此時q與o重合,點p運動到無窮遠處,雖不能再稱它為拋物線的弦了,它是弦的一種極限情形,因為 ,而 ,所以 ,故答案選c。
針對客觀選擇題題型的特點,這種解法體現出思維的靈活性和敏捷性,凸顯了試題的選拔功能。
【評注】將精算與估算相結合,是一種重要的數學能力,有利於從不同層面對理性思維能力進行全面而又靈活的考查。因此,這類數學試題給高中數學教與學的方向以啟示,注重多元聯絡表示,拓寬思維,提高思維含量。
二、考查極限圖形,簡化計算
例2 在正n稜錐中,相鄰兩側面所成的二面角的取值範圍是( )。
(a) (b) (c) (d)
解析:如圖2所示,設正n稜錐為 ,由於n多變,所以底面正n邊形、側面出現不確定狀態,這樣導致直接分析求解將是繁難,甚至是「到而不達」的,若另闢蹊徑,採用極限法,則解法將是簡捷、易行的,其計算量得到極大的簡化。
本例中底面正n邊形固定,而稜錐的高不定,故可將頂點s看作是運動變化的,設相鄰兩側面所成的二面角的平面角為 。當點s向下運動無限趨近底面正n邊形的中心這個極限位置時, 趨於平角 ;當點s向上運動趨於無窮遠時,側稜將無限趨於與底面垂直,即正n稜錐趨近於正n稜柱,此時 無限趨於底面正n邊形的內角 ,故二面角的取值範圍是: ,從而答案選a。
【評注】「化靜為動,以動制靜」,利用運動和變化的觀點,著眼於問題的極限狀態,擯棄了繁瑣的數**算,使得所研究問題更加直觀、明朗。因此,根據問題的不同條件和特點,合理選擇運算途徑是提高運算能力的關鍵,而靈活地利用極限思想就成為減少運算量的一條重要途徑。
三、分析極限狀態,探索解題思路
例3 已知拋物線方程為 。求證:在x軸正方向上必存在一點m,使得對於拋物線上任意一條過m的弦pq均有 為定值。
分析:假設點m確實存在,因為過點m的任意一條弦pq均有 為定值,因此對過點m的一條特殊弦——垂直於x軸的弦 也應該有 為定值。如圖3所示,設 ,則 ,但是僅憑此式還看不出點m到底是哪個定點。
下面再考查弦的乙個極限情形——x軸的正半軸,它過點m,它的乙個端點是原點o,另乙個端點可以看成是無窮遠處的極限點 (假想的點),它是弦的一種極限情形,顯然有 ,所以 ,它也應該是定值,且 ,由此可得 ,於是可以猜想定點m(p,0),
下證過點m(p,0)的任一弦pq均有 (定值)。
圖3證明:設過點m(p,0)的直線引數方程為 ,代入拋物線方程得 ,設此方程的兩根為 ,則 ,而 的幾何意義分別表示mp及mq的值。
所以 。
因此點m(p,0)是滿足題意的點。
【評注】通過分解有關物件在運動變化過程中的極限狀態,提取資訊、資訊整合,從而尋求到合理的解決問題的途徑,降低了解題難度,優化了解題過程,有效啟用了創新思維,凸顯了極限思想在解題中的獨特功能及應用的廣泛性。
四、巧取極限,實現無限與有限的統一
例4 設數列 滿足
(1)當 時,求 ,並由此猜想出 的乙個通項公式;
(2)當 時,證明對所有的 ,有
1 ;2 。
解析:本題是數列與不等式的綜合題,是考查猜想、歸納、迭代、放縮推理及分析問題和解決問題能力的一道優秀試題。(1)及(2)1入口寬,也易解決。
但是(2)2的放縮難度較大,拉開了檔次,體現了較好的區分度。事實上,(2)1的結論給解答(2)2有明確的啟示。因為由 可以推導出 ( ),運用這個不等式來證明(2)2,思路最為清晰、快捷。
這種要求,是考查考生進入高校繼續學習的潛能所必須的。
(1) (略)。
(2)1用數學歸納法證明(略)。
2由(2)1可知 ,即 。
於是 。
。【評注】本例利用了高等數學中的級數理論:正項級數 的前n項和有上界,故級數 收斂,但其收斂速度不大於 的收斂速度( )。
其實從初等數學的觀點也很容易理解:若單調遞增數列 存在極限,則 。通過無限與有限的統一,實現了對不等式的放縮。
利用極限思想,把問題放置於極限狀態,即活躍了思維,又提高了分析、解決問題的能力。因此,教師要有意識地強化用極限思想解題的意識,並在不斷應用它解決問題的過程中,讓學生真正體會到「提高觀點,降低難度,減輕負擔」的含義。自己去瞧瞧吧,,,,,我只能幫到這裡了。。。。。
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根據這個極限，很自然聯想到比值法，但是這裡的級數沒有點明是正項級數。根據極限的保號性，當n充分大時，u n 1 un 0，所以un 0或un 0。所以，去掉前有限項後un恆大於零或小於零。如果un 0，由比值法直接得到級數發散。如果un 0，考慮通項是 un的正項級數，其發散，所以原級數也發散。 寫...
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一般地，先把分母因式分解 比如你要求 x 3 x 2 x 2 分將分母因式分解成 專 x 1 x 2 然後你令上式屬等於 a x 1 b x 2 然後對其通分 得 a x 2 b x 1 x 1 x 2 再合併分子中的x項係數以及常數項係數 得 a b x 2a b x 1 x 2 比較一下原式 x...