已知a,b,c R,求證 a2 b2 c2 ab bc ac

2021-08-14 06:11:16 字數 2239 閱讀 6621

1樓:

解:∵(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0等價於 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca≥0a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≥0即a2+b2+c2≥ab+bc+ac

2樓:匿名使用者

(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2>=0

3樓:寧靜致遠

a²+b²≥2ab,

b²+c²≥2bc,

a²+c²≥2ac,

三個式子相加可得 2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)約掉2,可得 a²+b²+c²≥ab+bc+ac即 得證。

4樓:匿名使用者

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac2*(a^2+b^2+c^2)>=2*(ab+bc+ac)乘開 移項

a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2>=0

(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0

5樓:匿名使用者

因為 (a-b)2≥0

(b-c)2≥0

(a-c)2≥0

所以 (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0不等式 a2+b2+c2≥ab+bc+ac 得證

6樓:5藍兔兒

證明:a^2+b^2≥2ab

b^2+c^2≥2bc

c^2+a^2≥2ac

三個式子相加,得出2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)因此該式成立

(一)已知a,b,c∈r+,①求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ac;②若a+b+c=1,利用①的結論求ab+bc+ac的最大值.(

7樓:綠茶

證明du:(一)①a2+b2≥zhi2ab,c2+b2≥dao2bc,a2+c2≥2ac,…(3分)回

三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac當且僅當a=b=c時等號成立答                  …(6分)

②1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≥3(ab+bc+ac)…(9分)

則ab+bc+ac≤1

3,當且僅當a=b=c時等號成立.    …(12分)(二)①要證xa+y

b≥(x+y)

a+b,只要證(xa+y

b)(a+b)≥(x+y)

,…(3分)

則(xa+yb

)(a+b)=x

+y+bx

a+ayb≥x

+y+2xy=(x+y)

,當且僅當bx=ay時等號成立.故原不等式得證.     …(6分)②由①的結論知:1

2x+9

1?2x

≥(1+3)

2x+1?2x

=16,

當且僅當x=1

8時,等號成立.                …(12分)

(1)已知a,b,c為任意實數,求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca;(2)...

8樓:泰恬仰清秋

證明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,

三式相加即得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(6分)(2)因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,a2+b2+c2≥ab+bc+ca,

所以ab+bc+ca≤13(12分)

(1)已知a,b,c為兩兩不相等的實數,求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca;(2)設a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c

9樓:手機使用者

解答:證明:(1)要證a2+b2+c2>ab+bc+ca,只需證2(a2+b2+c2

)>2(ab+bc+ca)

即證(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2>0,因為內a,b,c是不全相等的實數,所容以(a+b)2>0,(b+c)2>0,(a+c)2>0,

所以(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2>0顯然成立.所以a2+b2+c2>ab+bc+ca;

(2)∵a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,∴(1a

?1)(1

b?1)(1

c?1)=b+c

a?a+c

b?a+bc≥2

bca?2acb?2

abc=8當且僅當a=b=c=1

3時等號成立.

已知a 2 b 2 c 2 ab bc ca 0,求證a b c

解 a b c ab bc ca 0 回2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0 a 2ab b b 2bc c c 2ac a 0 a b b c c a 0 a b 答0,b c 0,c a 0,a b 0,b c 0,c a 0,即a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ca 1 ...

已知a0,b0,求證b 2 a a 2 ba b

p b bai2 a a du2 b q a bp q b zhi2 a a 2 b a b b 3 a 3 a 2b ab 2 ab b 2 b a a 2 a b ab b a b 2 a 2 ab b a 2 b a ab b a 2 0 a b 0 ab 0 p q 0 所以 dao b 2...

已知實數abc滿足a 2 b 2 1,b 2 c 2 2,c

a 2 b 2 1,b 2 c 2 2,c 2 a 2 2,所以a 2 b 2 c 2 5 2 a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca 0 所以ab bc ca 5 4 所以最小 5 4 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 ab bc ca 5 2 ab bc ...