1樓：gree丹爺
泰勒中值定理：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為乙個關於（x-x.)多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.
)+f''(x.)/2!•(x-x.
)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.
)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.
)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.
)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.
)=f'(x.)δx），其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要乙個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.
),p'(x.)=f'(x.),p''(x.
)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.
),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.
)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.
)=2!a2,a2=f''(x.)/2!
……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.
)/n!。至此，多項的各項係數都已求出，得：p(x)=f(x.
)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.
)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.
)/n!•(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.
)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.
)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.
)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.
)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：
(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.
之間；繼續使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.
)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!
，這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!
an,n!an是乙個常數，故p(n+1)(x)=0，於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!
•(x-x.)^(n+1)。一般來說函式時都是為了計算的需要，故x往往要取乙個定值，此時也可把rn(x)寫為rn。
麥克勞林式：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為乙個關於x多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+rn
其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),這裡0<θ<1。
證明：如果我們要用乙個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!
•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)
由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。
麥克勞林式的應用：
1、三角函式y=sinx和y=cosx。
解：根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
於是得出了週期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這裡就寫成無窮級數的形式了。）
類似地，可以y=cosx。
2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：對指數函式y=e^x運用麥克勞林式並捨棄餘項：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、尤拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即乙個虛數單位）
證明：這個公式把複數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：
先指數函式e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪週期性，可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的式。然後讓sinx乘上提出的i，即可匯出尤拉公式。
有興趣的話可自行證明一下。
[編輯本段]泰勒式
e的發現始於微分,當 h 逐漸接近零時,計算 之值,其結果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發現此值的人是瑞士著名數學家尤拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數.
計算對數函式 的導數,得 ,當 a=e 時, 的導數為 ,因而有理由使用以 e 為底的對數,這叫作自然對數.
若將指數函式 ex 作泰勒,則得
以 x=1 代入上式得
此級數收斂迅速,e 近似到小數點後 40 位的數值是
將指數函式 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時,由
透過這個級數的計算,可得
由此,de moivre 定理,三角函式的和差角公式等等都可以輕易地匯出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何乙個整係數多項式的根,這個結果是 hermite 在2023年得到的.
甲)差分.
考慮乙個離散函式(即數列) r,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個函式書成 或 (un).數列 u 的差分 還是乙個數列,它在 n 所取的值以定義為
以後我們乾脆就把 簡記為
(例):數列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數列為 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我們說「數列」是「定義在離散點上的函式」如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當,因為這樣才跟連續型的函式具有完全平行的類推.
差分運算元的性質
(i) [合稱線性]
(ii) (常數) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列數列.
(iv) 叫做自然等比數列.
(iv)' 一般的指數數列(幾何數列)rn 之差分數列(即「導函式」)為 rn(r-1)
(乙).和分
給乙個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎麼算呢 我們有下面重要的結果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到乙個數列 (vn),使得 ,則
和分也具有線性的性質:
甲)微分
給乙個函式 f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數,記為 f'(x0) 或 df(x),亦即
若 f 在定義區域上每一點導數都存在,則稱 f 為可導微函式.我們稱 為 f 的導函式,而 叫做微分運算元.
微分運算元的性質:
(i) [合稱線性]
(ii) (常數) [差分方程根本定理]
(iii) dxn=nxn-1
(iv) dex=ex
(iv)' 一般的指數數列 ax 之導函式為
(乙)積分.
設 f 為定義在 [a,b] 上的函式,積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割:
;其次對每一小段 [xi-1,xi] 取乙個樣本點 ;再求近似和 ;最後再取極限 (讓每一小段的長度都趨近於 0).
若這個極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積.
(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
積分運算元也具有線性的性質:
定理2 若 f 為一連續函式,則 存在.(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
定理3 (微積分根本定理) 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函式,我們欲求積分 如果我們可以找到另乙個函式 g,使得 g'=f,則
注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣.
我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另乙個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.
甲)taylor公式
這分別有離散與連續的類推.它是數學中「逼近」這個重要想法的乙個特例.逼近想法的意思是這樣的:
給乙個函式 f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很複雜而不易對付,於是我們就想法子去找乙個較「簡單」的函式 g,使其跟 f 很「靠近」,那麼我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現.由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清
兩個問題:即如何選取簡單函式及逼近的尺度.
(一) 對於連續世界的情形,taylor 展式的逼近想法是選取多項函式作為簡單函式,並且用區域性的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點,給乙個直到到 n 階都可導微的函式 f,我們要找乙個 n 次多項函式 g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 taylor 展式.
g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,於是我們就用 g 區域性地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些區域性的定性行為.因此 taylor 展式只是區域性的逼近.
當f是足夠好的乙個函式,即是所謂解析的函式時,則 f可展成 taylor 級數,而且這個 taylor 級數就等於 f 自身.
值得注意的是,一階 taylor 展式的特殊情形,此時 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切於 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 taylor 展式的意義就是,我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線區域性地來取代原來 f 曲線.這種區域性化「用平直取代彎曲」的精神,是微分學的精義所在.
利用 talor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函式的極大值與極小值,求積分的近似值,作函式表(如三角函式表,對數表等),這些都是意料中事.事實上,我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」.
復次我們注意到,我們選取多項函式作為逼近的簡單函式,理由很簡單:在眾多初等函式中,如三角函式,指數函式,對數函式,多項函式等,從算術的觀點來看,以多項函式最為簡單,因為要計算多項函式的值,只牽涉到加減乘除四則運算,其它函式就沒有這麼簡單.
當然,從別的解析觀點來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函式.例如,三角多項式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 fourier 級數,這在應用數學上占有舉足輕重的地位.(事實上,fourier 級數是採用最小方差的逼近尺度,這在高等數學中經常出現,而且在統計學中也有應用.
)注:取 x0=0 的特例,此時 taylor 展式又叫做 maclaurin 展式.不過只要會做特例的,欲求一般的 taylor 展式,作一下平移(或變數代換)就好了.
因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 taylor 展式.
(二) 對於離散的情形,taylor 就是:
給乙個數列 ,我們要找乙個 n 次多項式數列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指:
答案是 此式就是離散情形的 maclaurin 公式.
乙)分部積分公式與abel分部和分公式的類推
(一) 分部積分公式:
設 u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續,則
(二) abel分部和分公式:
設(un),(v)為兩個數列,令 sn=u1+......+un,則
上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 d(uv)=(du)v+u(dv),及萊布尼慈差分公式 的結論.注意到,這兩個萊布尼慈公式,乙個很對稱,另乙個則不然.
(丁)複利與連續複利 (這也分別是離散與連續之間的類推)
(一) 複利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年複利一次,要問 n 年後的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根據(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是複利的公式.
(二) 若考慮每年複利 m 次,則 t 年後的本利和應為
令 ,就得到連續複利的概念,此時本利和為y(t)=y0ert
換句話說,連續複利時,t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我們看出離散複利問題由差分方程來描述,而連續複利的問題由微分方程來描述.對於常係數線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個要點就是疊合原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推.
(戊)fubini 重和分定理與 fubini 重積分定理(也是離散與連續之間的類推)
(一) fubini 重和分定理:給乙個兩重指標的數列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對 (ars) 作和 ,則這個和可以這樣求得:光對 r 作和再對 s 作和(反過來亦然).
亦即我們有
(二)fubini 重積分定理:設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函式,則
當然,變數再多幾個也都一樣.
(己)lebesgue 積分的概念
(一) 離散的情形:給乙個數列 (an),我們要估計和 ,lebesgue 的想法是,不管這堆資料指標的順序,我們只按數值的大小來分堆,相同的分在一堆,再從每一堆中取乙個數值,乘以該堆的個數,整個作和起來,這就得到總和.
(二)連續的情形:給乙個函式 f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 x 軸從 a 到 b 所圍出來的面積.
lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割:
函式值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 於是 [a,b] 就相應分割成 ,取樣本點 ,作近似和
讓影域的分割加細,上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 [a,b] 上的 lebesgue 積分.
泰勒公式的餘項
f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
+ rn(x) [其中f(n)是f的n階導數]
泰勒餘項可以寫成以下幾種不同的形式：
1.佩亞諾(peano)餘項：
rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒公尺爾希-羅什(schlomilch-roche)餘項：
rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(lagrange)餘項：
rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)]
4.柯西(cauchy)餘項：
rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)]
5.積分餘項：
rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的積分]/n!
[f(n+1)是f的n+1階導數]
關於泰勒公式sinx的誤差估計用泰勒公式sinx為什麼變成了這個，表示看不懂，求解答
我是這樣理解的 書上設的是2m.說明最終的展開式有偶數項,也就是說,餘項一定為奇數階,注意,一定是啊 對於m 1時 f x f 0 f 0 x f 0 x r2 x 四項對於這個題目 樓主把植代入 sinx 0 x 0 x 2 2 r2 x 可能是因為其1階也是sinx 0 x r1 x 所以,樓主...
求助,泰勒公式求高階導數,求助,泰勒公式求高階導數
這個一般是 bai被求導函式是復合函du數的時zhi候吧?把外層函式dao寫成taylor的形式,然後把內內層函式代入,容 得到的就是復合函式的taylor,然後給根據相應項的係數就可以求出高階導數值了。如果有具體的問題的話應該可以說得更明白些。關於用泰勒公式求高階導數,比如圖中劃線處是怎麼得到的,...
用泰勒公式證明當x0時,ln1xxx
y ln 1 x 的泰勒制式bai為 y ln 1 x x x du2 2 x 3 3 x 4 4 當zhi daox 1 時,ln 1 x x x 2 2 x 3 3 x 4 4 0 因此 ln 1 x x x 2 2 當x趨向於0時,ln 1 x x等價無窮小的證明 lim x 0 ln 1 x...