1樓：匿名使用者
關於函式的值域（最值）的解決方法，有很多文章介紹了，如判別式法，實根分布法等，判別式法歷來不能完全解決這個函式的值域（最值）問題，實根分布法比較複雜。我們應用函式的性質，可以完整解決分式函式的值域問題。
下面對和先討論函式的性質。
性質1 若，函式在區間和區間是單調增函式；在區間 和區間是單調減函式。
性質1的證明從略。
性質2 若，函式在區間和區間上都是增函式。
性質2的證明從略。
例1 分別求函式在指定區間上的值域
（1） （2） （3）
解：（1）利用均值不等式，
，當時，，
所以，函式的值域是。
（2）由（1）的解答過程，因為，所以均值不等式就失去了作用。我們可以用函式的單調性解決這個問題。
因為函式在區間上是增函式，當時，，所以，函式的值域是。
（3）把區間分割成兩部分：和，由性質1知，函式在區間和上分別是減函式、增函式，
那麼這個函式在兩個區間上的值域分別是和，
所以函式在區間上的值域是。
例2 求下列函式的值域
（1） （2）
解：（1）用部分分式法，，就化歸為例1（1）的情形。
（2）用換元法把分母上的式子轉換為乙個單項式。
設，則，代入函式得
,其中，當即時，函式取最小值。所以，原函式的值域為
例3 求函式的值域。
解：因為①
設其中，且，
那麼，且
把 代入①式，得
如果如果
當時，從而
當時，且
從而或所以，原函式的值域是
例4 求函式的值域。
解：設代入原函式得
由於所以
例5 求函式的值域。
解：因為，函式是增函式，
原函式的值域是
2樓：
求 函式值域的幾種常見方法
1．直接法：利用常見函式的值域來求
一次函式y=ax+b(a 0)的定義域為r，值域為r；
反比例函式 的定義域為，值域為；
二次函式 的定義域為r，
當a>0時，值域為；當a<0時，值域為.
例1．求下列函式的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函式 的值域是
③ ④當x>0，∴ = ，
當x<0時， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也稱為配方法）
函式 的影象為：
2．二次函式比區間上的值域(最值)：
例2 求下列函式的最大值、最小值與值域：
① ；解：∵ ，∴頂點為(2,-3)，頂點橫座標為2.
①∵拋物線的開口向上，函式的定義域r，
∴x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函式的值域是.
②∵頂點橫座標2 [3,4]，
當x=3時，y= -2；x=4時，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域為[-2，1].
③∵頂點橫座標2 [0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域為[-2，1].
④∵頂點橫座標2 [0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域為[-3，6].
注：對於二次函式 ,
⑴若定義域為r時，
①當a>0時，則當 時，其最小值 ；
②當a<0時，則當 時，其最大值 .
⑵若定義域為x [a,b],則應首先判定其頂點橫座標x0是否屬於區間[a,b].
①若 [a,b],則 是函式的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較 的大小決定函式的最大（小）值.
②若 [a,b],則[a,b]是在 的單調區間內，只需比較 的大小即可決定函式的最大（小）值.
注：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；
②當頂點橫座標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關係進行討論.
3．判別式法（△法）：
判別式法一般用於分式函式，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項係數是否為0的討論
例3．求函式 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
當 y11時 ∵x?r ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
檢驗 時 （代入①求根）
∵2 ? 定義域 ∴
再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
綜上所述，函式 的值域為
方法二：把已知函式化為函式 (x12)
∵ x=2時 即
說明：此法是利用方程思想來處理函式問題，一般稱判別式法. 判別式法一般用於分式函式，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項係數是否為0的討論.
4．換元法
例4．求函式 的值域
解：設 則 t 0 x=1-
代入得5．分段函式
例5．求函式y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：將函式化為分段函式形式： ，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函式的值域是.
解法2：∵函式y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函式的值域是[3，+ ]. 如圖
兩法均採用「數形結合」，利用幾何性質求解，稱為幾何法或圖象法.
說明：以上是求函式值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學習和經驗的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學們要通過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，並在解題中盡量採用簡捷解法.
三、練習：
1 ；解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此題利用基本不等式解更簡捷：
2 ∵2 -4x+3>0恆成立(為什麼？)，
∴函式的定義域為r，
∴原函式可化為2y -4yx+3y-5=0，由判別式 0，
即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判別式法要考察兩端點的值是否可以取到.
3 求函式的值域
① ； ②
解：①令 0,則 ,
原式可化為 ,
∵u 0，∴y ，∴函式的值域是（- ， ].
②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4
在此區間內 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0
∴函式 的值域是
小結:求函式值域的基本方法（直接法、換元法、判別式法）；二次函式值域（最值）或二次函式在某一給定區間上的值域（最值）的求法.
作業：求函式y= 值域
解：∵ ，
∴函式的定義域r，原式可化為 ,
整理得 ，
若y=1,即2x=0,則x=0；
若y 1,∵ r，即有 0，
∴ ,解得 且 y 1.
綜上：函式是值域是.
3樓：笑傲江湖獨求敗
函式值域的求法：
①配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值範圍，通過解不等式，得出 的取值範圍；常用來解，型如： ；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式，運用三角函式有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
求函式值域常用方法
4樓：幾許朝暮
求函式值域的常用方法有：配方法，分離常數法，判別式法，反解法，換元法，不等式法，單調性法，函式有界性法，數形結合法，導數法。
一、配方法
二、反解法
三、分離常數法
四、判別式法
五、換元法
六、不等式法
七、函式有界性法
直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，反客為主來確定函式的值域。
八、函式單調性法
先確定函式在其定義域（或定義域的某個子集上）的單調性，再求出函式值域的方法。考慮這一方法的是某些由指數形式的函式或對數形式的函式構成的一些簡單的初等函式，可直接利用指數或對數的單調性求得答案；還有一些形如，看a,d是否同號，若同號用單調性求值域，若異號則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失敗的情況下，可採用單調性求值域。
九、數形結合法
其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。
十、導數法
利用導數求閉區間上函式的值域的一般步驟：(1)求導，令導數為0；(2)確定極值點，求極值；(3)比較端點與極值的大小，確定最大值與最小值即可確定值域。
總之，在具體求某個函式的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮函式單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。
5樓：匿名使用者
1：直接法：從自變數的範圍出發，推出值域，也就是直接看咯。這個不用例題了吧？
2：分離常數法
例題：y=(1-x^2)/(1+x^2)
解，y=(1-x^2)/(1+x^2)
=2/(1+x^2)-1
∵1+x^2≥1，∴0＜2/（1+x^2)≤2∴-1＜ y≤1 即y∈（-1，1】
3：配方法（或者說是最值法）
求出最大值還有最小值，那麼值域不就出來了嗎。
例題：y=x^2+2x+3 x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1
∴ymin=(-1+1)^2+2=2
ymax=(2+1)^2+2=11
4:判別式法，運用方程思想，根據二次方程有實根求值域不好意思，當初做筆記的時候忘記抄例題了，不過這種方法不是很常用。
5：換元法：適用於有根號的函式
例題：y=x-√（1-2x)
設√（1-2x)=t(t≥0)
∴x=(1-t^2)/2
∴y=(1-t^2)/2-t
=-t^2/2-t+1/2
=-1/2(t+1)^2+1
∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）
6：影象法，直接畫圖看值域
例題：y=|x+1|+√（x-2)^2
這是乙個分段函式，你畫出圖後就可以一眼看出值域。
7：反函式法。求反函式的定義域，就是原函式的值域。
例題：y=(3x-1)/(3x-2)
先求反函式y=(2x-1)/(3x-3)
明顯定義域為x≠1
所以原函式的值域為y≠1
求下列函式的值域
乙個函式要考慮它的值域，得先考慮它的定義域1 函式的定義域是x不等於 1 5，所以y的值域就是y不等於2 52 這個乙個二次函式的題，直接看初三課本一的公式就行了.函式定義域為x屬於r，值域為y 2 x 1 2 2 2 3 這個題不好直接做，可以運用觀察法。當x為很大的正數時，y為很大的負數，也就是...
求帶根號函式的值域yx,根號的函式的值域怎麼求y根號x
x的值域是r 但是根號x卻限定了x只能取大於等於0的數 所以y大於等於0 你如果後面還有部分我是看不到的 根號的函式的值域怎麼求y 根號x 解 函式的值域這樣求,y 根號下x 定義域x是 x 0 值域y 0 x 0時,y 0 x 0時,y 0 x不能 0,y不能 0 帶根號的函式值域求法 例子y 1...
求函式定義域和值域怎麼求函式定義域和值域
定義域 函式有意義即可 當然,實際問題要考慮實際情況 主要包括 偶次根號下大於0,分母不為0,對數的真數大於0,底數大於0且不等於1,正餘切函式的定義域,反三角函式的定義域,等等 值域 求值域實際上就是求函式的最值問題 如無最值則為無窮大 求最值常用方法又有配方,求導,利用不等式,等等 要分函式種類...