1樓：李大為
（1）方法一：
根據容斥原理得：∑(-1)^k*c(n,k)(n-k)! （這裡k從0到n）
簡單解釋如下：即排除法的公升級
任意的-某乙個不滿足的（減多了）+某兩個不滿足的（加多了）-某三個……
（2）遞推法：
設n個班主任監考n個班每個班的監考老師都不是本班班主任的情況數為f(n)
1、易知n=1,f(1)=0,n=2,f(2)=1,
設n=k,有f(k)種，那麼n=k-1有f(k-1)種
則n=k+1時，給這k+1人編號為1到k+1,對應班級為1到k+1
則無非兩類：
前提：1可去2到k+1班共k個班，有k種選擇，不妨設去了2班
第一類：2去了1班，只有1種情況，那麼剩下的3到k+1共k-1人都各不去自己班，
就變成了1到k-1都不去自己班，共f(k-1)種
第二類：2不去1班，當然也去不了2班，（有1了嘛），那麼剩下的2到k+1共k人都各不去自己班（其中2不去1班可等同與2不去2班，都是有且只有1個班不能去
嘛）就變成了1到k都不去自己班，共f(k)種
故共有f(k+1)=k*[f(k-1)+f(k)]種
遞推：f(1)=0
f(2)=1
f(3)=2*(0+1)=2
f(4)=3*(1+2)=9
f(5)=4*(2+9)=44
f(6)=5*(9+44)=265
等等，但很難如（1）給出通項
再驗證（1）(注0!=1)
n=6時，6!-c(6,1)*5!+c(6,2)*4!-c(6,3)*3!+c(6,4)*2!-c(6,5)*1!+c(6,6)*0!
=265
完全正確！！！兩種方法都對！！
2樓：
n!+∑(-1)^k*c(n,k)(n-k)!
記ai表示i班班主任恰好監考i班的排列集合，|ai|表示集合中元素個數；€ai表示ai的餘集（補集）
現在求的是∩€ai，即每個班的監考老師都不是本班班主任的情況數；
根據容斥原理得
|∩€ai|=|€∪ai|=n!-|∪ai|
而|∪ai|=∑c(n,k)(-1)^(k+1)(n-k)! （這裡k從1到n）
從而|∩€ai|=n!-|∪ai|=n!+∑(-1)^k*c(n,k)(n-k)!
發現k=0恰好(-1)^k*c(n,k)(n-k)!=n!所以結果可以改寫為
∑(-1)^k*c(n,k)(n-k)! （這裡k從0到n）
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