1樓:電燈劍客
反例:a=
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
其中θ不是π的整數倍
設a為正交陣,且〔a〕=-1,證明b=-1是a的特徵值 10
2樓:匿名使用者
a正交,則a的特徵值的模是1又deta=-1=所有特徵值的乘積,共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是-1。
設a的特徵值為λ,有aα = λα (α≠0),(a^t)a=e
等式左邊乘於a的轉置a^t,右邊乘於α ^t,得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t),取行列式得:
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|,又|a^t|=deta=-1,故λ=-1
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
擴充套件資料
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱,也不一定可以對角化。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t),換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1,正1是叫第一類,負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的,只是滿足a'=a=a^,例如副對角線全為1,其餘元素都為零的那個方陣就是這種型別。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣,但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每乙個行(列)向量都是模為1的,並且任意兩個行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量組成r^n的一組標準正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1,如果有乙個元素為1,那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、乙個對稱矩陣,如果它的特徵值都為1或者-1,那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是乙個n維單位實列向量,則e_n-2bb'是乙個對稱正交矩陣.因為e_n-2bb'的特徵值為1(n-1重),-1(1重),同時還是乙個對陣矩陣。
3樓:小鑫沒了蠟筆了
先證明因為a為正交矩陣,a的特徵值為-1或1,設λ是正交矩陣a的特徵值,x是a的屬於特徵值λ的特徵向量,即有ax=入x,且x≠0.兩邊取轉置得x^ta^t=入x^t所以x^ta^tax=入^2x^tx,因為a是正交矩陣所以a^ta=e,所以x^tx=入^2x^tx,由x≠0知x^tx是乙個非零的數,故入^2=1,所以入=1或-1。
因為a等於所有特徵值之積,又|a|=-1,所以必有奇數個特徵值為-1,即=-1是a的特徵值。
4樓:隰紫雲的紫竹苑
^|||a為正交陣,即a^t a=e,設a的轉置為a'
有 | e + a | = | a'a + a |= |a|| a' +e|
=-| (a + e)' |
=-| e + a |
所以 | e + a | = 0
就是說 | a - (-e)| =0
這就說明-1是他的乙個特徵根
5樓:賈元牧慈
因為特徵值都大於零所以a的行列式deta=1,所以a*=deta*(a^-1)=a^-1=a^t
請問設a是正交矩陣,|a|=1,證明1一定是a的特徵值嗎?還有可能有特徵值1和共軛虛數嗎??
6樓:光孤子
帶入驗證來
。因為det(
源i-a)=det((a(at))-a)=det(a(at-i))=det(at-i)=det(a-i)=-det(i-a)(說明at表示a的轉置),所以det(i-a)=0,所以1是特徵值。因為正交矩陣一定是實矩陣(定義),所以其特徵值只能是實數。
線性代數 設a為正交陣,且deta=-1.證明-1是a的特徵值
7樓:demon陌
a正交,則a的特徵值的模是1又deta=-1=所有特徵值的乘積,共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是-1。
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣(即該正交矩陣中所有元都是實數)可以看做是一種特殊的酉矩陣,但也存在一種復正交矩陣,這種復正交矩陣不是酉矩陣。
若是的屬於的特徵向量,則也是對應於的特徵向量,因而特徵向量不能由特徵值惟一確定.反之,不同特徵值對應的特徵向量不會相等,亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
8樓:流雲
^^設a的特徵值為λ,有aα = λα (α≠0),(a^t)a=e等式左邊乘於a的轉置a^t,右邊乘於α ^t,得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t),取行列式得:
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|,又|a^t|=deta=-1,故λ=-1
即:題幹條件下,a的特徵值有且僅有-1
9樓:幽谷之草
正交矩陣的特徵值只能是1或者-1;
矩陣a的行列式值|a|是a的特徵值的乘積。
根據以上兩點正交矩陣的特徵值的乘積是-1,所以不能全部都是1,從而-1是a的特徵值。
如何證明正交矩陣的特徵值為1或-1
10樓:demon陌
^設λ是正交矩陣a的特徵值,x是a的屬於特徵值λ的特徵向量即有 ax = λx,且 x≠0。
兩邊取轉置,得 x^ta^t = λx^t所以 x^ta^tax = λ^2x^tx因為a是正交矩陣,所以 a^ta=e
所以 x^tx = λ^2x^tx
由 x≠0 知 x^tx 是乙個非零的數
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的,所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣(即該正交矩陣中所有元都是實數)可以看做是一種特殊的酉矩陣,但也存在一種復正交矩陣,這種復正交矩陣不是酉矩陣。
11樓:電燈劍客
這題目是錯的,樓上也在反覆用錯誤的回答坑人
證明任何正交矩陣的實特徵值要麼是1要麼是
樓上回答基bai本正確，不過存在乙個du小問題 a t 的特徵 zhi值為dao 內 n a 1 的特徵值為1 n 因為a t a 1 所以 n 1 n 這步是容不嚴密的。兩個矩陣相等只能得到他們特徵值構成的集合是相等的，而不是每個對應的特徵值是相等的。可以這麼證 設x於b分別是a的特徵向量與特徵值...
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